Prueba de Rudin teorema 2.34 compacto subconjuntos de métrica espacios están cerrados

Question

Rudin escribe en un determinado momento de la prueba:

$\textbf {Since $K$ is compact}$, hay un número finito de puntos de $q_1,...,q_n$ $K$ tal forma que:

$K \subset W_{q1} \cup W_{q2} \cup ... \cup W_{qn}$ cuando la $\textbf{$W_{qi}$'s are neighborhoods}$ de un punto de $q\in K$

Así, la implicación en negrita es mi problema, que definitivamente no es lo que la definición de un conjunto compacto de los estados.

La definición dice que por cada apertura de la tapa se puede conseguir un abrir finito subcover pero que no podemos suponer que son los barrios de la derecha?? ¿Cómo hacer este salto??

Gracias por la ayuda!

Answer 1

La apertura de la tapa es probablemente definido semi-explícitamente justo antes de la parte que ha citado y consta de los conjuntos de $W_q$ todos los $q\in K$.