Confusión con respecto a $\log(x)$ $\ln(x)$

Question

Yo era la solución de una integral y me he encontrado en alguna pregunta

$$\displaystyle \int_{2}^{4}\frac{1}{x} \, \mathrm dx$$

Sé que su integración es $\log(x)$. Pero mi respuesta es correcta cuando utilizo $\ln(x)$ lugar. ¿Qué es esta confusión? ¿Cómo puedo saber cuál utilizar? Gracias

Answer 1

$\log(x)$ tiene diferentes significados dependiendo del contexto. A menudo puede significar:

• cualquier logaritmo si la base no es importante
• el logaritmo natural $\log_e(x) = \ln(x)$
• el logaritmo decimal $\log_{10}(x)$
• el logaritmo binario $\log_{2}(x)$

En su caso, $\log(x)$ sólo significa lo mismo que" $\ln(x)$

Answer 2

La notación $\log$ se utiliza para la logaritmos en general. Específicos logaritmo bases que normalmente uso $\ln$ (para el logaritmo natural), $\lg$ (de base 10). A veces $\operatorname{lb}$ se utiliza para la base de dos.

Así que la pregunta es ¿sobre qué base se entiende cuando la escritura $\log$. Normalmente uno se podría indicar que la base de la suscripción de la base. Por ejemplo, $\lg x = \log_{10} x$ o $\ln x = \log_ex$.

El problema entonces es lo que hacemos de una expresión de $\log x$? Eso es ambigua ya que la base no se especifica. Sin embargo, en algunos casos, sería suponer que la base predeterminada es $e$ (pero en algunos casos puede ser diferente).

Línea de fondo es que si usted no desea que la confusión se debe usar normalmente, $\ln$ en lugar de ello, o quizás $\log_e$ y nunca el uso de $\log$ sin subíndice.

Answer 3

Aviso:

• $$\log_a(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(a)}$$
• $$\ln(x)=\log_e(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(e)}=\frac{\ln(x)}{1}=\ln(x)$$
• $$\int\frac{1}{x}\space\text{d}x=\ln|x|+\text{C}=\log_e|x|+\text{C}$$

Así:

$$\int_{2}^{4}\frac{1}{x}\space\text{d}x=\left[\ln|x|\right]_{2}^{4}=\ln|4|-\ln|2|=\ln(4)-\ln(2)=\ln\left(\frac{4}{2}\right)=\ln(2)\approx0.693147$$