Demostrar que algo no es un colector

Question

Así que estoy siguiendo unos apuntes que están introduciendo los colectores con unos requisitos previos bastante mínimos. Lo que quiero hacer es mostrar dónde está la imagen de $\phi: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R^2}$ $t\mapsto (t-\sin(t),1-\cos(t))$ no es un colector. Dado que se trata de la cicloide estándar, está bastante claro que las cosas se estropean en las cúspides, pero ¿cómo puedo demostrar rigurosamente que $\phi(\mathbb{R})$ ¿no hay un colector allí? La derivada de $\phi$ no es 1:1, pero eso no es suficiente, ¿verdad? ¿Cómo sé que no hay una mejor parametrización de $\phi(\mathbb{R})$ alrededor de las cúspides?

Answer 1

Si un subconjunto de $\mathbb{R}^{2}$ es una variedad de 1 dimensión, entonces es localmente homeomorfa a $\mathbb{R}^{1}$ . No creo que en una cúspide se pueda encontrar una carta así.