Prueba de convergencia sencilla

Question

Me piden que demuestre, utilizando la definición de convergencia, que los límites se aproximan a un determinado valor.

Por ejemplo, $$\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^2+4}{n^2}.$$ Puedo ver que converge a $1$ pero no estoy seguro de cómo demostrarlo utilizando la definición de convergencia. (Existe un $N$ tal que para todo $n\geq N$ , $\mid x_n-x\mid<\epsilon$ para todos $\epsilon>0$ )

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\left|\frac{n^2 + 4}{n^2} - 1\right| = \left|\frac{4}{n^2}\right| = \frac{4}{n^2}\tag{*}$$

Dado $\epsilon > 0$ el lado derecho de $(*)$ es menor que $\epsilon$ cuando $n$ es mayor que $\ldots$