Este problema viene de R. W. R. Darling (Formas Diferenciales y Conexiones) ch.8. En el capítulo se muestra que si $M$ $n$- dimensiones diferencial colector inmerso en $\mathbb{R}^{n+k}$, e $\Psi$ es una inmersión de $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n+k}$ que parametrizes el colector, y $f$ es una inmersión de $\mathbb{R}^{n+k} \rightarrow \mathbb{R}^k$ tal que $f^{-1}(0) = M$, entonces se puede construir una forma de volumen $(\star df)$ $M$ el uso de la estrella de Hodge, y que el %de$(\star df)\Lambda^n \Psi_{*}$, que parametrizes la forma de volumen, es dado por $k=1$, e $\Psi(0) = r$ por $$ \begin{vmatrix} D_1 f(r) & D_1 \Psi_1(0) & \cdots & D_n \Psi_1(0) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ D_n f(r) & D_1 \Psi_n(0) & \cdots & D_n \Psi_n(0) \\ \end{vmatrix}. $$ El ejercicio es hacerlo con el submanifold $SL(2,\mathbb{R}) \subset GL(2,\mathbb{R})$ considerado como equivalente a $\mathbb{R}^{nxn}$, $\Psi$ parametrización un $\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \\ \end{pmatrix}$ como la imagen de $(x,y,z)$ $f(x,y,z,w) = xw - yz - 1.$ I cálculo, y tengo: $$ \begin{vmatrix} w & 1 & 0 & 0 \\ -z & 0 & 1 & 0 \\ -y & 0 & 0 & 1 \\ x & \frac{-w}{x} & \frac{z}{x} & \frac{y}{x} \\ \end{vmatrix}, $$ donde $w = \frac{1+yz}{x}$, que evalúa correctamente en $I$ dar $-2dx\land dy\land dz$ como la parametrización de volumen del operador.
La segunda parte es donde tengo un problema, dice a extender esta forma de volumen hacia la izquierda invariante manera a $SL(2,\mathbb{R})$ mediante el cálculo de $(L_A^{*}(\star df))(A^{-1})$ donde $L_A$ es el operador de desplazamiento a la izquierda en $GL(2,\mathbb{R})$, $L_A \begin{pmatrix} s & t \\ u & v \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y\\ z & w\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s & t \\ u & v \\ \end{pmatrix}$ al $A = \begin{pmatrix} x & y\\ z & w\\ \end{pmatrix}.$
Tengo la sensación de que debo tomar $(L_A^{*}(\star df)) = ((\star df)L_{A{*}})$ a iniciar el proceso, pero estoy confundido en cuanto a cómo el empuje hacia adelante encaja en el cálculo con respecto a la parametrización de la $\Psi$. Podría alguien ayudarme con cómo funciona? Y no puedo calcular el $L_{A{*}}$ como un elemento de $\mathbb{R}^{nxn}$ lo que da un diferencial como una matriz de 4x4? Y si es así, ¿de pre-multiplicar o post multiplicar que de las diferentes piezas de la matriz determinante que se necesitan para formar la forma de volumen? (El problema es 8.4.5 en Darling, p.173, y este es un auto-estudio de la cuestión.)
