¿La operación de $G/A$ $A$ por la conjugación acaba de dar un trivial homomorphism?

Question

Estoy teniendo dudas acerca de un ejercicio, ya que llegar a una conclusión trivial. Espero que no sea un problema a ver si me estoy arruinando.

Deje $G$ ser un grupo, y $A$ normal abelian subgrupo. Espectáculo $G/A$ opera en $A$ por la conjugación y de esta forma obtener un homomorphism de $G/A$ a $\text{Aut}\ (A)$.

Por lo tanto la acción es $gA\bullet a=gAa(gA)^{-1}=gAag^{-1}A=gAaAg^{-1}=gAg^{-1}=A$. También se $(gAhA)\bullet a=gA\bullet(hA\bullet a)$$A\bullet a=A$. Así que se trata simplemente de una trivial homomorphism que los mapas de todo a $A$?

Creo que me estoy aplicando mal las cosas, pues pensaba que se supone que debe de ser$A\bullet a=a$, y la acción debe devolver los elementos de $A$, no $G/A$. Cómo interpretar correctamente?

Answer 1

Recuerde que cualquier acción de un grupo de $G$ sobre un conjunto $X$ induce un homomorphism $G\to S_X$, el grupo de permutaciones en $X$; y, por el contrario, que cualquier grupo de homomorphism $G\to S_X$ induce una acción de $G$$X$. Dada una acción $G\times X\to X$, el homomorphism $\varphi\colon G\to S_X$ mapas de $g$$\varphi(g)$, la función tal que $\varphi(g)(x) = g\cdot x$. Por el contrario, dado un homorphism $\psi\colon G\to S_X$, $\psi$ define una acción por $g\cdot x = \psi(g)(a)$.

Con preliminares, vamos a dejar que $G$ actuar en $A$ por la conjugación de la forma habitual: $g\cdot a= gag^{-1}\in A$ (en $A$ porque $A$ es normal). Esta es una acción de $G$$A$.

Esto induce a un homomorphism $G\to S_A$, si consideramos, $A$ como un conjunto.

Sin embargo, debido a $A$ es abelian, para cada $a\in A$ y cada una de las $b\in A$ tenemos $b\cdot a = a$. Es decir, la acción de $A$ sobre sí mismo es la identidad de permutación, por lo que el homomorphism $G\to S_A$ factores a través de $G/A$. Esto le da un homomorphism $G/A \to S_A$. Y por supuesto, cualquier homomorphism de un grupo de $H$ a un grupo de permutación $S_X$ induce una acción de $H$$X$, lo $G/A$ actúa en $A$.

La acción de la $G/A$ $A$ es como sigue: dado $gA\in G/A$ y $a\in A$, $gA\cdot a = gag^{-1}$. Esto está bien definido, porque si $gA=hA$,$h^{-1}g\in A$, lo $(h^{-1}g)a(g^{-1}h) = a$, por lo tanto $gag^{-1}=hah^{-1}$.

La acción no es trivial, a menos $A$ es central.

Answer 2

Como usted dice, lo que has escrito no tiene sentido: si $G/A$ actúa en $A$ elementos de mapas de $A$ a los elementos de $A$. Pero inició con $a \in A$, actuado por $gA \in G/A$, y terminó con $A$. Algo está mal aquí :). Lo correcto es definir la acción de $gA \in G/A$ $a\in A$ por $$ gA \cdot a := ga g^{-1} $$

Hay un problema de bien definedness aquí: la acción parece depender de la elección de coset reps $g$. Usted necesita para comprobar una opción diferente de coset rep $g'$ no hacen una diferencia para la acción: es decir $ga g^{-1} = g' a g'^{-1}$.

Answer 3

$\alpha$'(gA)(a)=a, entonces g pertenecen a la Z no es correcto, tal vez cualquier elemento que pueden viajar con un.

Answer 4

Deje $\alpha$: G-->Aut(A) es un homomorphism, entonces si $\alpha$(g)(a)=ga$g^{-1}$=a, podemos conseguir que g pertenecen a Una, por lo que ker$\alpha$=A, a partir de este punto obtenemos $\alpha^{'}$ que es inducida por $\alpha$:G/A-->Aut(a), que es un inyectiva interior aut.