Cómo saber si este enorme vector está en la columna de espacio de este enorme matriz?

Question

Yo novato en álgebra lineal, así que espero que sean pacientes conmigo.

Tengo que decir que si un vector $\vec{u} = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{matrix} \right]$ está en el espacio columna de una matriz $A = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1&0&0&-1&0&1&1 \\ 0&1&0&0&-1&0&1 \\ 0&0&0&0&0&0&1\\0&0&-1&0&1&0&1 \\ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 0&1&1&1&0&1&-1\end{matrix} \right]$.

Mi intuición es para decir que no, porque, si no estoy mal, lo que tenemos que encontrar es un vector $\vec{v}$ tal que $$A\vec{v} = \vec{u}$$

Pero no hay ningún vector tal que multiplicado por una fila de todos los $0$s (el de filas de la matriz antes de su último), que le dará $1$, el componente antes de la última de $\vec{u}$.

Yo estoy en lo correcto o qué? Debo necesidad de encontrar el$RREF$, de todos modos?

Answer 1

Yo estoy en lo correcto [...] ?

Sí.

Answer 2

Su intuición es casi correcto.
Deje $V$ el valor de la columna espacio de la matriz $A$, usted necesita encontrar una combinación de los vectores $v_{1},v_{2},...,v_{n} \in V$, lo que da $\sum_{i=1}^{n} {\alpha_i v_{i}} = v$$\alpha \in \mathbb{F}$.
Si usted puede encontrar una combinación así, a continuación, $v\in V$