calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a una esfera

Question

Acabo de empezar a estudiar álgebra lineal por mi cuenta, y como tal no tengo ningún profesor al que pueda preguntar. Estoy estudiando el material de primer curso de álgebra lineal de una universidad holandesa, así que puede que utilice términos ingleses incorrectos. Si es así, por favor, díganme los términos ingleses correctos :) Estoy atascado en la parte 4 de este ejercicio de varias partes. Hasta ahora cuando estaba atascado encontraba la solución después de unos días (gastando páginas y páginas de notas :) ) Pero esta vez no... Para que no haya confusión, y también porque creo que las tres primeras partes son en parte una pista para la cuarta y última parte, replico aquí todo el ejercicio.

Esfera B con centro (3,2,1) y radio 3.

1. Demuestre que P = (1,0,2) es un punto de la esfera.
2. Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a la esfera por P.
3. Muestra esa línea $l$ dado por $ x = (0,3,0) + \lambda(-3,2,4)$ tiene ningún punto de intersección con B.
4. Encuentre las ecuaciones cartesianas de cada plano que pasa por $l$ y tangente a la esfera.

Lo que tengo ahora (abreviado):

1) la ecuación de B es $|x - (3,2,1)| \leq 3$ para x = (1,0,2) obtenemos $|(-2,-2,1)| \leq 3 \Rightarrow \sqrt{4+4+1} \leq 3$ . Así que P está en la superficie de la esfera.

2) el vector de P al centro de B es $\overrightarrow{P} - (3,2,1) = (-2,-2,1)$ que es el vector normal del plano que queremos. Así que el plano es $-2x_1 - 2x_2 + x_3 = a$ . Encontramos $a$ rellenando los valores de P: -2*1 - 2*0 + 2 = 0. (la sección de respuestas del cuaderno da $-2x_1 -2x_2 +x_3 = 1$ pero estoy convencido de que es un error... espero que estéis de acuerdo)

3) digamos que el centro de B es P, el punto en $l$ que se cruza con la línea perpendicular a $l$ a través de P es Q. Q está en $l$ por lo que el vector hacia Q es $\pmatrix{-3\lambda\\3 + 2\lambda\\4\lambda}$ para un determinado valor de $\lambda$ . Vector $\overrightarrow{PQ}$ es Q - P es $\pmatrix{-3\lambda - 3\\2\lambda + 1\\4\lambda -1}$ . Perpedicular a $l$ por lo que el producto punto de $\overrightarrow{PQ}$ y (-3, 2, 4) es cero. Al trabajar esto se obtiene $\lambda = \frac{-7}{29}$ . Así que Q es $\pmatrix{^{21}/_{29}\\ ^{73}/_{29}\\ ^{-28}/_{29}}$ . La longitud de $\overrightarrow{PQ}$ es $\sqrt{(^{66}/_{29})^2 + (^{15}/_{29})^2+(^{-57}/_{29})^2}$ que es mayor que 3.

4) Lo que se me ocurre: si puedo encontrar las líneas que pasan por Q, tangentes a B, perpendiculares a $l$ la ecuación de cada plano tangente puede calcularse a partir de la representación vectorial de $l$ añadiendo un vector de dirección extra, el vector de dirección de cada línea tangente. Llamo al vector de dirección $m$ aquí. La ecuación vectorial de las líneas tangentes es (con cada una de ellas un $m$ ) $x = \overrightarrow{Q} + \lambda m$

Estas líneas tangentes (creo que hay dos) pasan por un punto de la esfera B. Ese punto se adhiere, pues, a | x - (3,2,1) | = 3. Ese punto de intersección está en la recta tangente, por lo que $$\left|\pmatrix{^{21}/_{29}\\^{73}/_{29}\\^{-28}/_{29}} + \lambda \pmatrix{m_1\\m_2\\m_3} - \pmatrix{3\\2\\1} \right| =3 \Rightarrow \left|\pmatrix{^{-66}/_{29}\\^{15}/_{29}\\^{-57}/_{29}} + \lambda \pmatrix{m_1\\m_2\\m_3} \right| =3$$ $$\Rightarrow \sqrt{ (^{-66}/_{29} + \lambda m_1)^2 + (^{15}/_{29} + \lambda m_2)^2 + (^{-57}/_{29} + \lambda m_3)^2 } = 3$$

Las líneas son perpendiculares a $l$ por lo que el producto punto de $m$ y el vector de dirección de $l$ es cero. Eso da $-3m_1 + 2m_2 + 4m_3 =0 \Rightarrow m_1= \frac{2m_2 + 4m_3}{3}$ .

Entonces puedo sustituir $m_1$ en la ecuación del último párrafo, pero eso me deja con tres incógnitas: $\lambda$ , $m_2$ y $m_3$ . Pensé que podía asumir $\lambda$ sea 1 en el punto de intersección en B, ya que cualquier cambio en $\lambda$ sólo me hará encontrar algún múltiplo escalar de $m$ . (y $\lambda$ ya es cero en Q)

Aun así eso termina con una ecuación mucho más complicada que en cualquier ejercicio anterior, y con esa fracción con el denominador 29 muy poco práctica sospecho que estoy tanto siguiendo el enfoque equivocado, como que puedo haber cometido algún error de cálculo.

El folleto me da la respuesta ( $4x_1 +3x_3 =0$ y $2x_1 x_2 +2x_3 =3$ ) pero no puedo encontrar una pista en eso. Sólo que probablemente no debería haber una fracción tan complicada en mis cálculos :)

He encontrado ¿Dónde está el error en mi cálculo de una línea que pasa por un punto y es la tangente a un círculo? y Esfera tangente a un plano pero no me ayudaron a acercarme.

Supongo que he perdido mucho crédito debido a este enorme muro de texto... si eso te desanima, lo entiendo. Mis disculpas, he intentado hacerlo lo más breve posible sin dejar de aportar todo mi pensamiento. Gracias por las respuestas.

Answer 1

Haz un dibujo de la esfera y la línea $l$ y observa que uno de los planos tangentes debe pasar bastante cerca del origen. Tiene sentido comprobar si puede ser el plano que pasa exactamente por el origen. Esto da $4x+3z=0$ y es fácil comprobar que este plano está a la distancia correcta del centro de la esfera, por lo que es un plano tangente. Entonces, el otro plano tangente se obtiene a partir del primero reflejándolo en el plano que pasa por la recta $l$ y el centro de la esfera, lo que da $2x-y+2z+3=0$ .

Por lo tanto, hacer un dibujo y una suposición es la forma más fácil de resolver este problema. Tu forma de resolverlo está bien, pero hay una forma más directa, que se basa en las coordenadas de Plücker. Quieres encontrar dos planos que pasen por $l$ y están a la distancia correcta del centro de la esfera. Para un plano definido por $$ax+by+cz+d=0,\quad\textrm{where}\quad a^2+b^2+c^2=1,$$ estas dos condiciones se cumplen si $$|3a+2b+c+d|=3$$ y $$\begin{pmatrix} 0&p_{23}&p_{31}&p_{12}\\ -p_{23}&0&p_{03}&-p_{02}\\ -p_{31}&-p_{03}&0&p_{01}\\ -p_{12}&p_{02}&-p_{01}&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}d\\a\\b\\c \end{pmatrix}=0,$$

donde $(p_{01}, p_{02}, p_{03},p_{23},p_{31},p_{12})$ son las coordenadas de Plücker de $l$ . Para su problema, esto da las siguientes ecuaciones: $$3a-2b-4c=0, \\-3d-9b=0, \\2d+9a-12c=0,\\ 4d+12b=0,\\ |3a+2b+c+d|=3,\\ a^2+b^2+c^2=1,$$ que se puede resolver fácilmente en mathematica.