Delimitador de una función en conjuntos con una medida prescrita

Question

En la prueba de un lexema en un artículo que estoy leyendo la siguiente es reivindicada.

Deje $f$ ser una función medible con $f(t) \geq 0$$0 \leq t \leq 1$$\int_0^1 f(t)\,dt = 1$. Deje $k$ ser un número fijo con $0 \leq k < 1$. A continuación, podemos encontrar una $E \subseteq [0,1]$ con medida de Lebesgue $\mu(E) = k$ y un número de $p$ tal que $$f(t) \leq p \,\text{ for }\, t \in E \,\text{ and }\, f(t) \geq p \,\text{ for }\, t \notin E.$$

¿Por qué podemos siempre encontrar $E$ $p$ al mismo tiempo?

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El papel es:

De Bruijn, N. G.
En algunas ecuaciones integrales de Volterra que todas las soluciones son convergentes.
Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 53, (1950) 813-821 = Indagationes De Matemáticas. 12, 257-265 (1950).

Yo he parafraseado ligeramente, pero la afirmación es esencialmente la primera reclamación en la prueba del Lema 2.

Answer 1

Para $k<1$, creo que es cierto:

Deje $g(x)=\mu (f^{-1}([0,x)))$. A continuación, $g$ es una función creciente, porque si $x<y$$f^{-1}([0,x) ) \subset f^{-1}([0,y) )$. Esto sólo ha countably muchas discontinuidades y todos ellos son discontinuidades de salto.

Si $g(x)=k$,$x=p$$E=f^{-1}([0,p))$.

Supongamos $g$ salta sobre el valor de $k$. Que es, $\lim_{x\to p^-} g(x)<k$ $\lim_{x\to p^+} g(x)>k$. Supongamos $g(p)<k$. A continuación, $\lim_{x\to p^+} g(x)>k$ nos dice que $\mu (f^{-1}(\{p\}))>0.$ Encontrar un subconjunto $A$ $f^{-1}(\{p\})$ medida $k-g(p)$. A continuación,$E=A\cup f^{-1}([0,p))$. Asimismo, para $g(p)>k$.

Tenga en cuenta que la integral de la condición garantiza que $f$ está delimitado en casi todas partes, por lo que estos inversa imágenes de obtener un conjunto de medida completa.

Answer 2

No creo que la afirmación es verdadera: Seleccione una función $f: [0,1]\to (0,\infty)$ tal que $f$ es continua en $(0,1)$, $\lim_{t\to 0} f(t)=\infty$ y $\int_0^1 f(t)dt=1$.

Tome $k=1$ y supongamos que no existe $E$ $|E|=1$ $p>0$ tal que $$f(t)\leq p,\ \forall\ t\in E \tag{1}$$

De $(1)$, $\lim_{t\to 0} f(t)=\infty$ y la continuidad, llegamos a la conclusión de que no existe $\delta>0$ tal que $E\subset (\delta,1)$, que es N absurdo, porque $|E|=1$.