Basta sólo a considerar la posibilidad de una transformación lineal $f$ tal que $f^n=id$ y requieren $V$ no tener adecuada subespacio invariante bajo $f$. Pero todavía no tengo una imagen de lo que está pasando.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lijo
Puntos
118
Deje $\rho : C_n \to \mathrm{GL}(V)$ ser una representación, equivalentemente, deje $f : V \to V$ ser un automorphism tal que $f^n = \operatorname{id}_V$. A continuación, $f$ es una raíz del polinomio $X^n - 1$, por lo tanto es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$ y su complejo de autovalores son $n$th raíces de la unidad. Estas raíces son reales o vienen en par de complejo conjugado números: vamos a $A \in M_d(\mathbb{R})$ ser la matriz asociada a $f$; luego si $\lambda \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ es un autovalor de a $A$, es decir, $Av = \lambda v$ cero $v$, luego $$\overline{Av} = \overline{\lambda v} \implies A \bar{v} = \bar{\lambda} \bar{v}$$ por lo tanto $\bar{\lambda}$ también es un autovalor de a $A$.
Ahora usted puede emparejar $\lambda = e^{2ik\pi/n}$$\bar{\lambda} = e^{-2ik\pi/n}$. Deje $\theta = 2k\pi/n$, de tal manera que $n \theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$. Los dos siguientes matrices son similares: $$\begin{pmatrix} e^{i \theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$
Conclusión: La irreductible real representaciones de $C_n$ son
- 1-dimensional, con una matriz real $n$th raíz de la unidad;
- 2-dimensional, con matriz $\left(\begin{smallmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{smallmatrix}\right)$ donde $n\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$ pero $\sin\theta \neq 0$.
