Es cierto que un diedro grupo es nonabelian?

Question

Es cierto que un diedro grupo es nonabelian?

No estoy seguro de si el resultado es true. He comprobado que para algunos de orden inferior y creo que el resultado puede corregir.

Pero me faltó probar/refutar el resultado.

Answer 1

Sí, el diedro grupos $D_n$ son nonabelian para $n\ge 3$. Es generado por una rotación $r$ $r^n=1$ y una reflexión de $s$$s^2=1$. Sin embargo, usted puede comprobar fácilmente que una rotación y una reflexión no conmutan en general. Tenemos $sr=r^{-1}s$ en lugar de $D_n$ con esta presentación.

Answer 2

El diedro grupos para $n=1$ $n=2$ son abelian; para $n\geq 3$, el diedro grupos nonabelian (esto se menciona en la Wikipedia).

Answer 3

$D_3$, yo.e, el diedro grupo de un triángulo es isomorfo a $S_3$ que no es abelian. Se puede demostrar que esto es cierto para $n \geq 3$.

Nota: Algunas personas denotar el diedro grupo por $D_{2n}$, que está basado en el hecho de que el orden es $2n$, mientras que algunas personas se denota por a $D_n$.

Answer 4

Diedro grupo de orden $2n$ tiene la presentación

$$\langle x,y \mid x^n=y^2=e,yxy=x^{-1}\rangle$$

Al$n=1$, $x=e$ y por lo tanto es un grupo de orden 2.

Al$n=2$,$yxy=x$$xy=yx$. Así es abelian.

Pero cuando $n\geq 3$,$yxy=x^{n-1}$$xy=yx^{n-1} \neq yx$. Por lo tanto no es abelian.

Answer 5

Mi imagen para $D_4$ muestra $fr = r^{-1}f$ e no $rf$.
Ver Zev Chonoles exquisita imágenes en http://math.stackexchange.com/a/686175/53934 demasiado.