Inadecuado integral de $\sin(1/x)/x$ de 0 a 1 vs Integral de Lebesgue

Question

Q1) ¿Cómo puedo demostrar que la impropia de Riemann Integral de la $$\int_0^1\frac{\sin(\frac 1x)}x\,dx$$ converge?

Sí, de acuerdo a WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sin(1%2Fx)%2Fx++0++1).

Las estimaciones de la $\sin(\frac 1x)\leq\frac 1x$ o $\sin(\frac 1x)\leq 1$ tanto no parece funcionar aquí desde $\frac 1x$ $\frac{1}{x^2}$ son ambos no integrable en $(0,1]$.

Q2) ¿Cómo podemos demostrar que como una integral de Lebesgue, $$\int_0^1\frac{\sin(\frac 1x)}x\,dx$$ no existe?

Aproximadamente sé que es a causa de la $\infty-\infty$ razón porque $f^+=\infty$, $f^-=\infty$, pero, ¿cómo se demuestra eso? O, alternativamente, podríamos mostrar $|f|$ no es Lebesgue integrable?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Para Q2), sugerencia: Deje $a_n = 1/(3\pi/4+n\pi), b_n = 1/(\pi/4+n\pi).$ Observar

$$\int_{a_n}^{b_n} \frac{|\sin (1/x)|}{x}\, dx \ge \frac{\sqrt2 /2}{b_n}(b_n-a_n).$$

Answer 2

Sugerencia: Establecimiento $u = 1/x$, tenemos que \begin{align} \int^1_{0} \frac{\sin \frac{1}{x}}{x}\ dx = \int^\infty_1 \frac{\sin u}{u}\ du. \end{align} Hay muchos post relacionados.