Pregunta acerca de las valoraciones sobre la no completa los campos

Question

Deje $L/K$ ser un finita de Galois de la extensión, $\phi$ una valoración en $K$ $\psi$ una valoración en $L$ extender $\phi$. Estoy tratando de analizar una muy breve prueba del teorema que todas las extensiones de $\phi$ $L$son conjugado bajo el grupo de Galois de $L/K$. La prueba se inicia de la siguiente manera:

Deje $\psi_1$ $\psi_2$ ser extensiones de $\phi$ acostado en diferentes órbitas de $G=\textrm{Gal}(L/K)$. A continuación, el $G\psi_i$ son distintos y por el teorema de aproximación existe una $x\in L$ s.t. $\psi(x)<1$ todos los $\psi\in G\psi_1$ $\psi(x)>1$ todos los $\psi\in G\psi_2$.

No veo por qué el teorema de aproximación implicaría esto, porque en este caso ambas órbitas pueden tener más de un elemento. La forma en que me han enseñado el teorema de aproximación es que podemos elegir una valoración $\psi$ que $\psi(x)<1$ y para todos los demás, la desigualdad que ir a otro lado.

Answer 1

La aproximación teorema establece que para cualquier conjunto finito de valoraciones $S$ en un campo global $L$ y la secuencia de las $(a_v)_{\mathbb{v\in S}} \in \prod_{v\in S} L_v,$ existe para cualquier $\epsilon > 0$ elemento $x\in L$ tal que $|x - a_v|_v \leq \epsilon$ todos los $v\in S.$ Equivalentemente, se establece que la diagonal de la incorporación de la $L$ $\prod_{v\in S} L_v$ es densa. El hecho de que hay un $x \in L$ s.t. $\psi(x)<1$ todos los $\psi \in G\psi_1$ $\psi(x)>1$ todos los $\psi \in G\psi_2$ por lo tanto se sigue inmediatamente. Para ver esto, aplicar el teorema de aproximación para el conjunto de valoraciones $S = G\{\psi_1,\psi_2\},$ y cualquier elemento $(a_\psi)_{\mathbb{\psi\in S}} \in \prod_{\psi\in S} L_\psi$ tal que $\psi(a_\psi)<1$ todos los $\psi \in G\psi_1$ $\psi(a_\psi)>1$ todos los $\psi \in G\psi_2.$