Tal vez uno puede hacer esto usando el más conceptual de la construcción de la cuña de producto y exterior de álgebra. Considere la posibilidad de $\mathbb{C}^4$, y como de costumbre,$\mathbb{P}^3 = \big\{[u] \, : \, u \in \mathbb{C}^4 \big\}$$[u] = \big\{\lambda \, u \, \, : \,\, \lambda \in \mathbb{C}\setminus\{0\} \, \big\}$. Las líneas en la proyectiva espacio tres $\mathbb{P}^3$ corresponden a la projectivisation de dos dimensiones subespacios vectoriales en $\mathbb{C}^4$. Si puedo solucionar una de dos dimensiones subespacio en $\mathbb{C}^4$ I puede definir como el lapso de dos vectores linealmente independientes $u,v \in \mathbb{C}^4$ mintiendo sobre ella y no puede formar la cuña de producto $q = u \wedge v \, \in \, \wedge^{2} \,\mathbb{C}^4 = \mathbb{C}^4 \wedge \mathbb{C}^4$. Por otra parte, si $u_1, v_1$ son dos vectores diferentes que abarcan el mismo subespacio como $u, v$, entonces no es $\lambda \in \mathbb{C}$ tal que $u_1\wedge v_1 = \lambda (u \wedge v)$. Por lo tanto nos lleva a projectivize la cuña de producto: $$\mathbb{P}(\wedge^{2} \,\mathbb{C}^4 ) = \big\{ [\omega] \,\, : \,\, \omega \in \wedge^2 \, \mathbb{C}^4\big\} $$ $$[\omega] = \big\{\lambda \, \omega \in \wedge^{2} \,\mathbb{C}^4 \,\, : \,\, \lambda \in \mathbb{C}\setminus\{0\}\big\}$$ and the elements that describe the lines in $\mathbb{P}^3$, which is the same as the two dimensional subspaces of $\mathbb{C}^4$, have the form $[u \wedge v]$. However, not all elements of $\mathbb{P}(\wedge^{2} \,\mathbb{C}^4 ) $ are of this form. How to distinguish the ones that define lines from the one that do not, i.e. when is an element of $\cuña^{2} \,\mathbb{C}^4$ of the form $u \wedge v$? As it turns out, $\omega \en \wedge^{2} \,\mathbb{C}^4$ has the form $\omega = u \wedge v$ if and only if $\omega \wedge \omega = 0$, where $\omega \wedge \omega \en \wedge^{4} \,\mathbb{C}^4$. Since there exists an isomorphism (non-canonical) $\phi : \wedge^{4} \,\mathbb{C}^4 \to \mathbb{C}$, we can define the complex bilinear dot product (nondegenerate bilinear form) $(\omega \cdot \sigma) = \phi(\omega \wedge \sigma)$ for $\omega \sigma \en \wedge^2 \, \mathbb{C}^4$. Entonces, en este punto, el producto tiene dos propiedades importantes:
1. $(\omega \cdot \omega) = \phi(\omega \wedge \omega) = 0$ si y sólo si $\omega \wedge \omega = 0$ si y sólo si $\omega=u \wedge v$;
2. Si dos líneas en $\mathbb{P}^3$ se intersecan en un punto común, luego de sus dos correspondientes de dos dimensiones de los subespacios de $\mathbb{C}^4$ se intersectan en un común unidimensional el subespacio generado por un vector $v_0$, de modo que las dos líneas será representado por dos de cuña de productos de $q_1 = u_1 \wedge v_0$$q_2 = u_2 \wedge v_0$$(q_1 \cdot q_2) = \phi(q_1 \wedge q_2) = \phi(0) = 0$. Lo contrario también es cierto, que si dos de cuña de productos de $q_1 = u_1 \wedge v_1$ $q_2 = u_2 \wedge v_2$ son tales que $(q_1 \cdot q_2) = \phi(q_1 \wedge q_2) = \phi(0) = 0$, entonces existe al menos un vector de $v_0 \in \mathbb{C}^4$ tal que $q_1 = \lambda_1 (w_1 \wedge v_0)$$q_2 = \lambda _2 (w_2 \wedge v_0)$.
Con esta información en mano, definir el quadric $$\hat{Q} = \big\{\omega \in \wedge^2 \, \mathbb{C}^2 \,\, : \,\, (\omega \cdot \omega) = 0 \big\}.$$ Then it's projectivization $$Q =\big\{\, [\omega] \in \mathbb{P}(\wedge^2 \, \mathbb{C}^4) \,\, : \,\, \omega \in \hat{Q} \, \big\} = \big\{\, [\omega] \in \mathbb{P}(\wedge^2 \, \mathbb{C}^4) \,\, : \,\, (\omega \cdot \omega) = 0 \, \big\}.$$ So thus $\mathbb{G}(1,3) \cong P$. If you have a plane $H$ and a point on it $p \in H$ one can pick two different lines $l_1$ and $l_2$ lying on $H$ and passing through $p$. Then $H$ is spanned by these two lines. Let $l_1 = [u_1 \wedge v_0]$ and $l_2 = [u_2 \wedge v_0]$, where $p = [v_0]$. Denote $\hat{l}_1 = u_1 \wedge v_0$ and $\hat{l}_2 = u_2 \wedge v_0$. Then any other line on $H$ passing through $p$ should look like $$l = [\lambda_1 \hat{l}_1 + \lambda_2 \hat{l}_2] = [\lambda_1 u_1 \wedge v_0 + \lambda_2 u_2 \wedge v_0] = [(\lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2) \wedge v_0]$$ for any $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$. Thus the set $\Sigma_{p,H}$ of all lines lying on $H$ and passing through $p$ is the projectivisation of a two-dimensional subspace of $\wedge^2 \, \mathbb{C}^2$ so it is a one-dimensional line on $\mathbb{P}(\wedge^2 \, \mathbb{C}^2)$ composed of elements $l = [\lambda_1 \hat{l}_1 + \lambda_2 \hat{l}_2] \en \Sigma_{p,H}$ with the property that $$\big((\lambda_1 \hat{l}_1 + \lambda_2 \hat{l}_2)\cdot (\lambda_1 \hat{l}_1 + \lambda_2 \hat{l}_2) \big) = 0$$ which means that $l \Q \cong \mathbb{G}(1,3)$ and hence $\Sigma_{p,H} \subconjunto P \cong \mathbb{G}(1,3)$. Observe that $\dim_{\mathbb{C}} \big(\wedge^2 \, \mathbb{C}^4\big) = 6$, so $\wedge^2 \, \mathbb{C}^4 \cong \mathbb{C}^6$ and so $\mathbb{P}(\wedge^2 \, \mathbb{C}^4) \cong \mathbb{P}^5$ and thus $Q = \mathbb{G}(1,3)$ is a four dimensional projective quadric in $\mathbb{P}^5$.
Edit. A la inversa. Deje $\Sigma$ ser una línea de tendido en la cónica $Q$. Entonces hay dos diferentes puntos de $[l_1]$ $[l_2]$ acostado en $\Sigma$ donde$l_i = u_i\wedge v_i$$i=1,2$. Así que estos dos puntos span $\Sigma$, es decir, $[l] \in \Sigma$ si y sólo si $[l] = [\lambda \, l_1 + \lambda_2 \, l_2] \, \in \, \Sigma \, \subset \, Q$ para cualquiera de los números complejos $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ no simultáneamente cero. Entonces a partir de la $[l] \in \Sigma$$\Sigma \subset Q$,
$$0 = (l \cdot l) = \big((\lambda \, l_1 + \lambda_2 \, l_2)\cdot(\lambda \, l_1 + \lambda_2 \, l_2)\big) = \lambda_1^2 (l_1 \cdot l_1) + 2\lambda_1 \lambda_2 (l_1 \cdot l_2) + \lambda_2^2 (l_2 \cdot l_2) = 2\lambda_1 \lambda_2 (l_1 \cdot l_2)$$ because $(l_1\cdot l_1) = (l_2 \cdot l_2) = 0$ as $[l_1], [l_2]$ are points lying on the quadric $P$. Hence $(l_1 \cdot l_2) = 0$. But this means that $\phi(l_1 \wedge l_2)=0$ i.e. $u_1 \wedge v_1 \wedge u_2 \wedge v_2 = 0 \en \wedge^4 \, \mathbb{C}^4$. The latter statement means that the four vectors $u_1, v_1, u_2, v_2 \in \mathbb{C}^4$ cannot span the whole space and are linearly dependent. Hence there is a vector $v_0 \in \mathbb{C}^4$ such that $$\text{span}\{u_1, v_1\} \cap \text{span}\{u_2, v_2\} = \text{span}\{v_0\}$$ Hence $l_1 = [u_1 \wedge v_0]$ and $l_2 = [u_2 \wedge v_0]$ and $[\lambda_1 \ l_1 + \lambda_2\, l_2] = [\,(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 u_2) \wedge v_0]$ represents the two-space $\text{span}\{\lambda_1 v_1 + \lambda_2 u_2, v_0\}$ in $\mathbb{C}^4$ which means that all the lines from $\Sigma$ pass through the same point $p = [v_0] \in \mathbb{P}^3$ all of them are contained in the plane $$H = \mathbb{P}\big(\text{span}\{u_1, u_2, v_0\}\big) \, \subset \, \mathbb{P}^3$$
