La constancia de la suma de los números elegidos a partir de una plaza

Question

Consideremos las plazas de $n \times n$ tablero de ajedrez lleno de los números de $1$ $n^2$serie tal que la primera fila contiene el número de$1$$n$, en la segunda fila contiene el número de $n+1$ $2n$y así sucesivamente.Si ahora elegimos los números en $n$ plazas con la propiedad de que no es exactamente uno de cada fila y exactamente uno de cada columna y agregar la suma en la opción de plazas de demostrar que la suma obtenida es siempre $\frac n2 (n^2+1)$

He intentado comprobar fuera de un par de casos, y notó que los números se desvían de igual forma de los elementos de la diagonal I. e. la suma obtenida es igual a la suma de los elementos de la diagonal. Sin embargo, yo no podía probar formalmente.Alguna idea?Gracias.

Answer 1

La entrada en la fila $r$ y la columna $c$$r + n c - n$. La suma de los números de fila de los cuadros que escogieron es siempre $1 + 2 + \ldots + n = n(n+1)/2$, la suma de los números de columna también es $n (n+1)/2$, y el número de plazas es $n$. Por lo que la suma de las entradas que escogieron es

$$ \frac{n (n+1)}{2} + n \frac{n (n+1)}{2} - n^2 = \frac{n^3+n}{2} $$

Answer 2

Deje $a_i$ ser la columna de la plaza de la $i$th fila.

Demostrar que el valor de este cuadrado es $a_i+n(i-1)$, y, a continuación, evaluar la suma de $\sum_{i=1}^n (a_i+n(i-1))$ usando el hecho de que $$ \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n i = \frac{1}{2}n(n+1)$$ since $\{a_i\}=\{1,\dots,n\}$.

Answer 3

Primero podemos empezar por demostrar que este número va a ser siempre el mismo, no importa que $n$ números que elija. Observe que si se comienza por la elección de todos los números a lo largo de la cuesta abajo de la diagonal, tendremos $n$ números, exactamente uno de cada fila y columna. Que nos llame a este arreglo $D$. Cualquier arreglo de $n$ números elegidos de esta manera se puede lograr mediante el cambio de las columnas de dos de las plazas en $D$. Pero cuando las columnas de dos números se activan, si tienen $k$ plazas entre ellos, uno de los números aumentarán por $k+1$ y la otra disminuye por $k+1$ cuando sus columnas para que se encienda, dejando a la suma de todos los números de la misma. Ahora todo lo que tenemos que hacer es encontrar la suma de los valores de $D$ $n$ $n$ tablero de ajedrez, que es más fácil de hacer. El primer número en $D$$1$, y luego viene la $n+2$,$2n+3$, y así sucesivamente, de forma que la suma de estos números es $$\sum_{i=0}^{n-1} in+i+1$$ Esta suma es fácilmente evaluados, y resulta ser la fórmula que usted tiene: $$\frac{1}{2}n(n^2+1)$$