Una discreta problema acerca de coordenadas o ángulos?

Question

Supongamos que hay dos líneas rectas. Llamamos a uno de ellos de la línea de $a$ y otro de la línea de $b$ se $60$ grados de ángulo. Ahora partimos de un punto en $b$ y dibuje una línea desde ese punto a la línea $a$; dejamos esta línea se $d$ unidades de longitud. Ahora desde ese nuevo punto en la línea $a$ dibujamos de nuevo a la línea de $b$ con la misma distancia $d$(no se puede tomar el mismo camino que se utiliza para llegar al punto). Ahora continúe este proceso hasta llegar de nuevo al punto original. Un diagrama de cómo se hace se muestra a continuación:( p0 es el punto original)

Demostrar o refutar: no importa de dónde partimos en la línea $b$ vamos a volver al punto original.

Así, he tratado de utilizar la trigonometría para bash fuera de las coordenadas, pero rápidamente se vuelve duro y complicado para avanzar. Estoy muy confundido por dónde empezar esto. Algunos consejos que será apreciado. Gracias!

Answer 1

Establecer una coordenada en la línea de $b$ tener $O$ como origen, y vamos a $p_0$, $p_2$, $p_4$, ... ser las coordenadas de los puntos. El uso de la técnica que se explica en la respuesta a otra pregunta, uno encuentra que

$$ p_{n}=p_0\cos{n\pi\over3}\pm{\sqrt{{4\over3}d^2-p_0^2}}\sin{n\pi\over3}, $$

donde la elección de la señal depende de la dirección que ha tomado en la primera etapa de la construcción.

De ello se desprende, en particular, que $p_6=p_0$.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, vamos a $OP_1=2$ y deje $X$ ser el pie de la perpendicular de$P_1$$OP_2$. También vamos ángulo de $XP_1P_0=\theta$.

Es suficiente para demostrar que si $P_0P_1=P_1P_2=d$, $P_3$ es un punto en el $P_1O$ producido tal que $OP_0=OP_3$,$P_2P_3=d$. Luego siga por la simetría de que todos los seis líneas rojas son iguales, y que este tipo de construcción es siempre posible,$\sqrt{3}\leq d\leq2$.

Esta afirmación de la siguiente manera porque, tras la construcción descrito, tenemos $OP_3=1-d\sin\theta$$OP_2=1+d\sin\theta$, y el de la regla del coseno en el triángulo $OP_2P_3$ da $$P_2P_3^2=(1-d\sin\theta)^2+(1+d\sin\theta)^2-2(1-d^2\sin^2\theta)\cos120=3+d^2\sin^2\theta$$

Sin embargo, $$\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{d}\implies\sin^2\theta=1-\frac{3}{d^2}$$

Por lo tanto $P_2P_3=d$ QED

Answer 3

No toma mucho de la trigonometría; en un 30-60-90 derecha, triángulo, considere la posibilidad de la relación de la pierna más corta que la de la hipotenusa.

Supongamos que usted ha seguido la construcción de los puntos de $p_0$ $p_5$en secuencia, pero no han construido el siguiente punto después de $p_5.$ es necesario para probar que un segmento de la misma longitud que los demás se cierra el bucle, es decir, $p_5p_0 = p_0p_1,$ y, por tanto, que al hacer de la parcela el siguiente punto después de $p_5$ coincidirá con $p_0$ y repita la secuencia.

De $p_3$ caída perpendicular a $Op_4$; llamar a los pies de esta perpendicular $p_6.$ Lugar punto de $p_7$ sobre la línea de $Op_2$, de modo que $O$ es el punto medio de la $p_4p_7.$

Deje $d = p_6O$. Es decir, $d$ es la longitud de la pierna más corta de la 30-60-90 derecho triángulo $\triangle p_3 p_6 O.$ Deje $r = Op_4 = Op_7.$

Encontrar las distancias $p_0p_6,$ $p_4p_6,$ $p_6p_2,$ y $p_2p_7$ en términos de $d$ y/o $r.$ El uso de triángulos congruentes, encontrar $Op_0$ en términos de $d$ y/o $r.$ Mostrar que $Op_3 = Op_0,$ y proceder a demostrar (mediante triángulos congruentes) que $Op_1 = Op_4$ y $p_5p_0 = p_2p_3.$

Answer 4

No estoy seguro del todo pero he aquí mis pensamientos tal vez de cómo resolver este; comentarios o correcciones hacia esta solución se agradecería mucho:

Deje que el punto de $P_5$ va ser $P_6$. Tenemos que demostrar a $P_6$ coinciden con $P_0$.

Tenga en cuenta que con todos los segmentos de línea en igualdad de, $P_4P_5$=$P_5P_6$. Por lo $\triangle P_4P_5P_6$ es un triángulo isósceles.

Ya sabemos $P_4P_5P_6$ es un triángulo isósceles también sabemos que $\angle OP_4P_5$= $\angle OP_6P_5$. Pero eso sólo sucederá cuando los $P_6$ coinciden con $P_0$, por lo que se hacen.

Answer 5

El siguiente será probar que $\,\overrightarrow{OP_3}\,$ $\,\overrightarrow{OP_0}\,$ girado $\,120^\circ\,$ de las agujas del reloj, lo que significa que $P_3$ está unívocamente determinado por $\,P_0\,$ y no depende de la elección de $\,P_1\,$. La conclusión de que el problema, a continuación, de la siguiente manera directa, ya que significa que los caminos de la $\,P_0 \,\text{-}\, P_1 \,\text{-}\, P_2 \,\text{-}\, P_3\,$ $\,P_0 \,\text{-}\, P_5 \,\text{-}\, P_4 \,\text{-}\, P_3\,$ ha $\,P_3\,$ como un punto común, por lo que la secuencia de $\,P_0 \,\text{-}\, P_1 \,\text{-}\, P_2 \,\text{-}\, P_3 \,\text{-}\, P_4 \,\text{-}\, P_5 \,\text{-}\, P_0\,$ es cerrado.

Para demostrar la proposición, considere el plano complejo con el origen en la intersección de las dos líneas, y el eje real a lo largo de la línea azul. Vamos $\,\color{blue}{p_0=a}\,$, $\,\color{blue}{p_1=b\omega}\,$ con $\,a,b \in \mathbb{R}\,$ y $\,\omega = e^{i \pi / 3}\,$ $=\cos \frac{\pi}{3}+ i \sin \frac{\pi}{3}\,$ donde$|\omega|=1$$\,\omega + \bar \omega = 1\,$. El común de la distancia $\,d\,$ está dado por:

$$ d^2=|p_0-p_1|^2 = (a - b \omega)(a - b \bar \omega)=a^2+b^2|\omega|^2-ab(\omega + \bar \omega) = a^2-ab+b^2 $$

• Punto de $\,p_2\,$ se encuentra en el eje real, por lo que es $\,p_2 = c \in \mathbb{R}\,$. La condición de que $\,|p_2-p_1|=s\,$ le da: $$ \begin{align} a^2-ab+b^2 = |c-b\omega|^2 = c^2 + b^2 -bc \;\;&\iff\;\; c^2 - bc + ab-a^2 = 0 \\ &\iff\;\; (c-a)(c+a-b) = 0 \end{align} $$ Desde $p_2 \ne p_0$ se sigue que $\,c-a\ne 0$, lo que deja a $\,c+a-b=0\,$, lo $\,\color{blue}{p_2 = b-a}\,$.

• Punto de $\,p_3\,$ se encuentra en la línea de $\,op_1\,$, por lo que es de la forma $\,p_3 = \lambda \omega \mid \lambda \in \mathbb{R}\,$. La distancia condición es: $$ \begin{align} &a^2-ab+b^2 = |\lambda\omega-(b-a)|^2 = \lambda^2 + (b-a)^2-\lambda(b-a) \\ &\quad\iff\quad \lambda^2 - \lambda(b-a) -ab = 0 \\ &\quad\iff\quad (\lambda - b)(\lambda+a) = 0 \\ \end{align} $$ Desde $p_3 \ne p_1$ se sigue que $\,\lambda-b\ne 0$, lo que deja a $\,\lambda+a=0\,$, lo $\,\color{blue}{p_3 = -a\omega}\;$ q.e.d.