¿Cuál es el número de elementos en $\{1,2,...,2018\}$ de manera que pueda ser representada por $ x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 \:\:? $

Question

¿Cuál es el número de elementos en $\{1,2,...,2018\}$ de manera que pueda ser representada por $$ x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 \:\:? $$ $x \in \mathbb{Z}$

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Intento :

Primero, $x=1$ entonces la suma será $7$ que es un elemento del conjunto en cuestión. Por supuesto $x=0$ entonces la suma será $1$ también en el conjunto. Para $x=-1$ la suma también será $1$ .

Hasta ahora tenemos 2 elementos del conjunto.

Para $|x|>1$ podemos ver la suma como una serie geométrica finita :

$$ S = 1 + x + .... + x^{6} $$ $$ Sx = x + x^{2} + .... + x^{7} $$ restando los dos anteriores entonces podemos tener $$ S(x) = \frac{1 - x^{7}}{1-x}, \:\:\: |x| > 1 $$

La clave es encontrar $x*$ para que $S(x*)$ es el máximo justo por debajo de $2018$ .

Puedo hacerlo comprobando manualmente desde $x=\pm 2, \pm 3, \pm 4 $ . Sin una calculadora, esto es bastante tedioso. He descubierto que $x = \pm 4$ no cumplen la condición.

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Así que la respuesta es $6$ números, ¿es esto suficiente? (Estaba pensando que quizás también tengamos que comprobar la monotonicidad de $S(x)$ )

¿Qué técnicas son mejores que ésta? Gracias.

Answer 1

Trabajar a partir de su expresión $S=\frac {x^7-1}{x-1}$ o a partir de la suma original es natural comenzar tomando la raíz sexta de $2018$ . Las raíces sextas son difíciles, así que tomar una raíz cuadrada y luego una raíz cúbica es el camino a seguir. Tal vez sepas que $45^2=2025$ que deja claro que $\pm 3$ funcionará porque $3^3=27$ es mucho menos que $45$ y te deja con la duda sobre $\pm 4$ . Tenemos $4^7=2^{14}$ y tal vez sepas que $2^{14}=16384$ . Entonces está claro que $\pm 4$ conduce a valores demasiado grandes y el resultado es que $7$ valores de $x$ dar un número en el rango. Como dos de ellos dan el mismo número la respuesta a la pregunta es $6$ . Si vas a hacer cosas como esta sin una calculadora, es útil tener una serie de datos disponibles.

Answer 2

Su enfoque para expresar $$S(x) = \frac{1 - x^{7}}{1-x}, \:\:\: |x| > 1 $$ es una buena.

Desde $$4^6 = 4096$$ es obviamente demasiado grande, te quedas con $$x\in \{0, \pm 1,\pm 2, \pm 3\}$$ para obtener todas las respuestas.

He encontrado $$\{1,7,43,127,547,1093\}$$

Answer 3

En aras de la brevedad, dejemos que $x^6 +x^5+ x^4 +x^3+ x^2+x+1=f(x).$ ... Para $x\in \Bbb Z$ que tenemos:

$$(Ia).\quad |x|\geq 4\implies f(x)=(x^6+x^4+x^2)(1+1/x)+1\geq$$ $$\geq (x^6+x^4+x^2)(1-1/|x|)+1>$$ $$> x^6(1-1/|x|)\geq$$ $$\geq 4^6(1-1/2)=64^2/2=2048>2018.$$

$$(Ib).\quad |x|\leq 3\implies |f(x)|\leq |x|^6+|x|^5+|x|^4|+|x|^3+|x|^2+|x|+1\leq$$ $$\leq f(3)=(3^7-1)/2=(3^8/3-1)/2=$$ $$=(81^2/3-1)/2=1093<2018.$$

$(II). $ Obviamente $x\geq 0\implies f(x)\geq 1.$ Y $x<0\implies 1+1/x\geq 0\implies f(x)=(x^6+x^4+x^2)(1+1/x)+1\geq 1.$

$(III). $ Por lo tanto, el conjunto de soluciones es $\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3\}.$

Answer 4

6

La pregunta parece difícil al principio, pero realmente no lo es. Primero mira el gráfico, El gráfico

El gráfico anterior era de $f(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ Como se puede juzgar por la escala, el valor de y aumenta muy rápidamente y alcanza rápidamente $2018$ Podemos poner valores fácilmente y ver por nosotros mismos la rapidez, $$ f(0)=1$$ $$ f(1)=7$$ $$ f(2)=127$$ $$ f(3)=1093$$ $f(4)=5461$ que es, por supuesto, $>2018$ y, por lo tanto, todos los valores de ahora en adelante serán mayores que éste, Ahora, abordemos los negativos, $$f(-1)=1$$ $$f(-2)=43$$ $$f(-3)=547$$ $f(-4)=3277$ que es de nuevo $>2018$ y por el gráfico podemos decir que, seguirá aumentando. Por lo tanto, el conjunto $S$ que contiene los elementos de $\{1,2,3\ldots2018\}$ que satisfacen $f(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ , donde, $x\in \mathbb{Z}$ son, $$\boxed{\,\,\{1,7,43,127,547,1093\}\,\,}$$