La dimensión de los locales de las secciones de un esquema es limitado por la dimensión del esquema de

Question

He estado pensando en el problema siguiente

Deje $X$ ser un esquema. Es cierto que $\dim \mathcal{O}_X(U) \leq \dim X$ para cada conjunto abierto $U\subset X$?

Creo que es verdad pero no puedo demostrarlo. Aquí están mis ideas en casos particulares:

• Si $U$ es un afín a abrir subconjunto entonces $\dim \mathcal{S}_X(U)=\dim U\leq \dim X$.

• Si $X$ forma $k$-esquema de la finitos tipo y $\mathcal{O}_X(U)$ es un finitely generadas $k$-álgebra (esto no es cierto en general) podemos tomar $V$ abierto afín subconjunto contenida en $U$. Entonces tenemos $k\subseteq \mathcal{S}_X(U)\subseteq \mathcal{S}_X(V)$ so $$\dim \mathcal{O}_X(U)= \text{tr.deg}_k\ \text{Frac}(\mathcal{O}_X(U))\leq \text{tr.deg}_k\ \text{Frac}(\mathcal{O}_X(V))=\dim V \leq \dim X$$

Sería genial si alguien puede comentar sobre el caso general, o dar una prueba en otros casos.

Editar 04/03/2018:

• Si $X=\text{Spec}(A)$ es afín tenemos la desigualdad anterior para cualquier $U$. De esta manera se sigue directamente del hecho de que$$\mathcal{O}_X(U)=S^{-1}A \text{ where } S=A\setminus \bigcup_{\mathfrak{p}\in U} \mathfrak{p}$$ Por lo $\dim \mathcal{O}_X(U) =\dim \text{Spec}(S^{-1}A)\leq \dim X$ porque $\text{Spec}(S^{-1}A)$ es homeomórficos a un subconjunto de a $X$.

Answer 1

Esto no es cierto para arbitrario de los programas (aunque no me sorprendería si es cierto con algún tipo de limitación de las hipótesis). Para un ejemplo sencillo, vamos a $X$ ser un discontinuo de la unión de un número infinito de copias de $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$. A continuación,$\dim X=1$, pero $\mathcal{O}_X(X)$ es un producto infinito de copias de $\mathbb{Z}$, lo que ha infinita dimensión de Krull (véase el Espectro de $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$).