En $n×n$ matriz $A$ se forma con cada elemento $(a_{ij})$ seleccionado al azar

Question

Sea $p$ sea un número primo.Dado un número entero positivo $n$ , an $n×n$ matriz $A$ se forma con cada elemento $(a_{ij})$ seleccionados aleatoriamente, con igual probabilidad, entre $[0, 1, ..., p 1]$ . Sea $q_n$ es la probabilidad de que $\text{det}A \equiv 1 (\ mod \ p)$ Buscar $\lim_{n \rightarrow \infty} q_n$

Tengo la idea de buscar cada entrada de la matriz en términos de módulo $p$ . Trabajaba con cajas pequeñas para $p$ como $5$ . Pero me dejó sin pistas.

Answer 1

Podemos observar que el problema se puede expresar de esta manera: dado un $n \times n$ matriz $A$ con entradas sobre $\mathbb{F}_p$ (el campo finito de orden $p$ ), ¿cuál es la probabilidad de que la matriz tenga el determinante $1$ ?

En primer lugar, contemos cuántas matrices definidas de este modo tienen un determinante distinto de $0$ . Para que una matriz como esta tenga determinante no $0$ la primera columna puede ser cualquier vector distinto del vector nulo, por lo que tenemos $p^n - 1$ la segunda columna puede ser cualquier vector distinto de la primera columna multiplicado por un escalar, por lo que tenemos $p^n - p$ opciones...

Procediendo de esta manera tenemos que el número que buscamos es $$ r = (p^n - 1)(p^n - p)(p^n - p^2)\cdots (p^n - p^{n - 1})$$ En otras palabras, hemos encontrado $|GL(n, \mathbb{F}_p)| = r$ .

Ahora bien, puesto que $GL(n, \mathbb{F}_p)$ es un grupo bajo multiplicación y $\text{det} : GL(n, \mathbb{F}_p) \longrightarrow \mathbb{F}_p$ es un homomorfismo de grupo cuyo núcleo es el grupo de matrices con determinante $1$ y alcance $\mathbb{F}_p^*$ tenemos que el grupo de matrices con determinante $1$ es un subgrupo de $GL(n, \mathbb{F}_p)$ con índice $p - 1$ . Así que este subgrupo tiene $\frac{r}{p -1}$ elementos.

A partir de ahí tenemos $$q_n = \frac{r}{p^{n^2}(p -1)} = \frac{p^{n^2}\left(1 - \frac{1}{p^{n}}\right)\cdots \left(1 -\frac{1}{p}\right)}{p^{n^2}(p - 1)} = \frac{\left(1 - \frac{1}{p^n}\right)\cdots \left(1 - \frac{1}{p}\right)}{p - 1}$$ .

Lamentablemente no encuentro la forma de calcular $\lim_{n \to \infty} q_n$ Espero que alguien pueda ayudarnos en los comentarios o en otras respuestas.

Answer 2

El análisis de la respuesta de Stefano muestra que $$\lim_n q_n=\frac1{p-1}\prod_{k=1}^\infty\left(1-\frac1{p^k}\right).$$ Desde $\sum1/p^n<\infty$ esto nos dice que $$0<\lim q_n<1,$$ que parece el aspecto más interesante de la pregunta.

Soy escéptico sobre la existencia de una forma cerrada simple para el límite. Porque: Podemos definir una función holomorfa en el disco unidad por $$f(z)=\prod(1-z^n).$$ Ahora $f$ tiene el círculo unitario como "límite natural" (porque cualquier extensión a un conjunto abierto conexo estrictamente mayor que el disco unitario tendría un cero de orden infinito en una raíz de la unidad), y la idea de que una fórmula agradable se comporte tan mal cerca de cada punto límite parece inverosímil. (Una buena forma cerrada para $f(1/p)$ también parece poco probable, si no existe una forma cerrada para $f(z)$ en general...)