Deje $f$ ser una doble función derivable en a $(0,1)$ s.t. $\lim\limits_{x\to0+} f(x)=0$ y las estimaciones $$ |f^{(k)}(x)|\le Cx^{-k},\quad k=0,1,2;\ x\in(0,1), $$ mantenga.
Es cierto que $$\lim_{x\to0+} xf'(x)=0?$$
O, para la función $g(x)=xf(x)$, es equivalente a $\lim_{x\to0+} g'(x)=0$ desde $g'(x)=f(x)+xf'(x)$.
Observación. Si a la caída de la condición de los instrumentos derivados para $k=2$, es decir,$|f''(x)|\le Cx^{-2}$, la afirmación es falsa como muestra el siguiente ejemplo:
Deje $f(x)=x \cos \frac1x$,$$
x f'(x)=\sin \frac{1}{x}+x \cos \frac{1}{x}
$$
no tienden a $0$. En este caso,$$
f"(x)=-\frac1{x^{3}}\cos \frac{1}{x}.
$$
