Límite de una expresión

Question

Deje $f$ ser una doble función derivable en a $(0,1)$ s.t. $\lim\limits_{x\to0+} f(x)=0$ y las estimaciones $$|f^{(k)}(x)|\le Cx^{-k},\quad k=0,1,2;\ x\in(0,1),$$ mantenga.

Es cierto que $$\lim_{x\to0+} xf'(x)=0?$$

O, para la función $g(x)=xf(x)$, es equivalente a $\lim_{x\to0+} g'(x)=0$ desde $g'(x)=f(x)+xf'(x)$.

Observación. Si a la caída de la condición de los instrumentos derivados para $k=2$, es decir,$|f''(x)|\le Cx^{-2}$, la afirmación es falsa como muestra el siguiente ejemplo:
Deje $f(x)=x \cos \frac1x$, $$x f'(x)=\sin \frac{1}{x}+x \cos \frac{1}{x}$$ no tienden a $0$. En este caso, $$f"(x)=-\frac1{x^{3}}\cos \frac{1}{x}.$$

Answer 1

La afirmación es verdadera! Para probar esto, recordamos la siguiente modifacted Taylor-forumla: Tenemos $$f(t) = f(x) + f'(x)(t-x) - \int_x^t (f'(s)-f'(x))(s-x) \mathop{ds}$$ para $x,t\in (0,1)$. Esta fórmula puede ser fácilmente controlado por la integración parcial. Tenga en cuenta que sólo tenemos que $f$ es continuamente diferenciable en a $(0,1)$.

Aplicamos esta fórmula a $t=3x/2$ con el fin de encontrar $$f'(x) x = 2(f(3x/2)-f(x)) + 2 \int_x^{3x/2} (f'(s)-f'(x))(s-x) \mathop{ds}.$$ Ahora, sabemos que $2(f(3x/2)-f(x)) \rightarrow 0$$x \rightarrow 0+$. Por otra parte, podemos obligado el integrando el uso de $$|f'(s)-f'(x)| \leq \sup_{h \in [x,3x/2]} |f''(h)||s-x| \leq Cx^{-2} |s-x| \leq Cx^{-1}.$$ Así $$\Big|\int_x^{3x/2} (f'(s)-f'(x))(s-x) \mathop{ds}| \leq \int_x^{3x/2} C x^{-1}|x-s| \mathop{ds} \leq C x.$$ Todos togehter implica $$\lim_{x \rightarrow 0+} f(x) x =0.$$

La inspección de la prueba, vemos que sólo se utiliza $\lim_{x \rightarrow 0+} f(x) =0$$|f''(x)| \leq C x^{-2}$, $f$ es dos veces diferenciable.