Limitación de los polinomios trigonométricos en términos de derivada

Question

Intento demostrar lo siguiente: Si $f$ es un polinomio trigonométrico tal que $\hat{f}(j) = 0$ para $|j|<n$ entonces existe una constante absoluta $C$ tal que $$Cn\|f\|_p \le \|f'\|_p$$ donde $C$ es independiente de $p$ , $f$ y $n$ .

Existe el resultado más simple, que dice $$Cn^2\|f\|_p \le \|f''\|_p.$$

Aquí está mi prueba para esto, y podemos ver dónde falla en el primer caso. La prueba se basa en el siguiente lema:

Dejemos que ${a_n}_{n \in \mathbb{Z}}$ sea una secuencia par de números no negativos que tienden a cero, que es convexa en el siguiente sentido: $a_{n+1} +a_{n−1} −2a_n\ge 0 \forall n>0.$ Entonces existe $f \in L^1(\mathbb{T})$ con $f \ge 0$ y $\hat{f}(n) = a_n.$

Así que para el $n^2$ caso: queremos una secuencia convexa y uniforme $a_j \searrow 0$ que dará lugar a $h \in L^1$ tal que $f = h \ast f''$ . Vemos que $\widehat{h \ast f''} =-4\pi^2j^2 \hat{h}(j)\hat{f}(j)$ . Por lo tanto, tomamos $$a_{n,j} = \begin{cases} \frac{1}{j^2} & |j|\ge n \\ \frac{1}{n^2} & |j| < n.\end{cases}$$ Está claro que la condición de convexidad se satisface con una imagen. Entonces dejemos que $g_n$ sea la función garantizada por el lema con $\hat{g}_n(j) = a_{n,j}$ para todos $j$ . Vemos $$\|g_n\|_1 = \hat{g}(0)= \frac{1}{n^2}.$$ Entonces toma $h_n=\displaystyle -\frac{1}{4\pi^2}g_n$ para que $\widehat{h \ast f''}(j) = \hat{f}(j)$ para todos $j$ (recordemos que $\hat{f}(j) =0$ para $|j|<n$ ) y así $f = h \ast f''$ . Entonces la desigualdad de Young $$\|f\|_p = \|h_n \ast f''\|_p \le \|h_n\|_1 \|f''\|_p = \frac{1}{4\pi^2}\|g_n\|_1 \|f''\|_p = \frac{1}{4\pi^2n^2}\|f''\|_p$$ y hemos terminado.

Pero esto no funcionará para el otro caso, ya que los coeficientes que querremos definir no serán no negativos. ¿Podría alguien dar una pista sobre cómo proceder?

Este problema viene del libro de Schlag. Gracias.

EDIT: Ok, mi "prueba" del $n^2$ caso es realmente erróneo. Cuando hice el dibujo confundí $1/k^2$ con $k^2$ . Por lo tanto, esta no es una secuencia convexa. Hay una solución sencilla, como en el post enlazado.

Answer 1

Como hizo el OP, podemos definir la función $K(j)=\frac{1}{j}$ y $K_l(j)=K(j)\varphi_l$ , donde $l\ge 0$ , $\varphi_l(s)=\varphi(2^{-l}s)$ son funciones suaves y simétricas soportadas en $|s|\sim 2^l$ y satisfactorio $\sum_{l\ge 0}\varphi_l=1$ . Nos interesa la función $K^n = K\sum_{l\ge \log_2n}\varphi_l$ . Por lo tanto, nuestro límite deseado es $\lVert g*(K^{n})^\vee\rVert_p\le \frac{C}{n}\lVert g\rVert_p$ , donde $K_l^\vee(x) =\sum_j\varphi_l(j)\frac{e^{ijx}}{j}$ para $-\pi\le x\le \pi$ .

Por la desigualdad del triángulo y la desigualdad de Young para las circunvoluciones obtenemos $\lVert g*(K^{n})^\vee\rVert_p\le \sum_{l\ge \log_2n}\lVert g*K_l^\vee\rVert_p\le \lVert g\rVert_p\sum_{l\ge 0}\lVert K_l^\vee\rVert_1$ por lo que debemos acotar $\lVert K_l^\vee\rVert_1$ .

Tenemos que $|K_l^\vee(x)|\le \sum_j\frac{|\varphi_l(j)|}{j}\le C$ para alguna constante independiente de $l$ . Tenga en cuenta que $e^{i(j+1)x}+e^{i(j-1)x}-2e^{ijx}=e^{ijx}(e^{ix}+e^{-ix}-2)$ Por lo tanto

$$\begin{align}|(2^lx)^2K_l^\vee(x)|&=\frac{|2^lx|^2}{|e^{ix}+e^{-ix}-2|}\Big|\sum_j \varphi_l(j)\frac{e^{i(j+1)x}+e^{i(j-1)x}-2e^{ijx}}{j}\Big| \\ &\le \frac{2^lx^2}{|e^{ix}+e^{-ix}-2|}\sum_j \left|\frac{\varphi(2^{-l}(j+1))}{2^{-l}(j+1)}+\frac{\varphi(2^{-l}(j-1))}{2^{-l}(j-1)}-2\frac{\varphi(2^{-l}j)}{2^{-l}j}\right|. \end{align}$$

Desde $x^2/|e^{ix}+e^{-ix}-2|\le 1$ y

$$\begin{align}\left|\frac{\varphi(2^{-l}(j+1))}{2^{-l}(j+1)}+\frac{\varphi(2^{-l}(j-1))}{2^{-l}(j-1)}-2\frac{\varphi(2^{-l}j)}{2^{-l}j}\right|&\le \sup_s\left|\Big(\frac{\varphi(2^{-l}t)}{2^{-l}t}\Big)''(s)\right| \\ &\le C2^{-2l}, \end{align}$$

obtenemos $|(2^lx)^2K_l^\vee(x)|\le C$ y luego

$$ |K_l^\vee(x)|\le C \begin{cases} 1 & \text{for } |x|\le 2^{-l}, \\ \frac{1}{(2^lx)^2} & \text{for } |x|>2^{-l}. \end{cases}$$ Lo entendemos. $\lVert K_l^\vee\rVert_1\le C2^{-l}$ .

Para concluir, sustituya lo anterior para obtener

$$\lVert g*(K^{n})^\vee\rVert_p\le C\lVert g\rVert_p\sum_{l\ge \log_2n}2^{-l}\le \frac{C}{n}\lVert g\rVert_p,$$

que es lo que queríamos. Espero que no haya ningún error.