¿Cómo encontrar $\int_0^1f(x)dx$ $f(f(x))=1-x$?

Question

Un amigo mío le dio a esta pregunta a mí :

Supongamos $f(x)$ es real, que no sea constante, derivable la función que satisface la ecuación funcional $f(f(x))=1-x$ $\space\space\space\space\space\space\forall x\in(0,1)$. A continuación, encontrará el valor de $\int_0^1f(x)dx$.

La única cosa que vino a mi mente fue la forma diferencial de la ecuación con la ecuación dada y encontrar una solución, pero que era un callejón sin salida. Si alguien me podría dar una pista sobre cómo hacer frente a este problema sería genial.

EDIT: Todo este tiempo wonghang y Juan Ma respuestas me había convencido de que este problema no fue bien pensado. Pero como Sanket ha señalado, si hacemos caso omiso de la diferenciable asunción por un tiempo, no hay ahora existe un $f$ la satisfacción de las condiciones dadas? Alguien puede encontrar un ejemplo? Traté de producir uno con algunas variantes de la función valor absoluto, pero fue en vano.

Answer 1

Creo que $f(x)$ no existe en absoluto. disminuye $f(f(x))$ $(0,1)$.

$f(x)$ aumento o disminución en $(0,1)$. (no constante, real, diferenciable)

Si $f(x)$ está aumentando, está aumentando el $f(f(x))$. Si $f(x)$ está disminuyendo, está aumentando el $f(f(x))$.

No hay ninguna posibilidad de ser una función decreciente como $f(f(x))$ $1-x$.

Answer 2

La función dada no es posible, pero si asumimos que la función dada no es diferenciable que debe se han mencionado a continuación respuesta habría sido $\frac 12$.

$$f(f(x)) =1-x\implies f(1-x)=1-f(x)$$ $$\int_0^1 f(x)dx=1-\int_0^1f(1-x)dx=1-\int_0^1 f(x)dx\implies \int_0^1 f(x)dx=\frac 12$$

Answer 3

Otro punto de vista:

Para todas las $C > 1$, que $f$ ser una función diferenciable en $(0,C+1)$ tal que % $ $$f(x) = \begin{cases} C+x & \text{if }x \in (0,1) \\ C+1 - x & \text{if }x \in (C, C+1).\end{cases}$

Entonces para todos los $x\in (0,1)$, $f(f(x)) = f(C+x) = C+1 - (C+x) = 1-x$. Pero

$$\int_0^1 f(x) dx = C + \frac 12$$

puede ser cualquier número mayor que $\frac 32$.