Demostrando que $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+ \left(\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\right)^2\le \max_{t\in [a,b]}\{f'(t)+(g'(t))^2\}$

Question

Dejemos que $f,g\in C^1([a,b])$ con $a<b$ entonces demuestre que

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+ \left(\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\right)^2\le \max_{t\in [a,b]}\{f'(t)+(g'(t))^2\}$$

Huele a que hay algún teorema del valor medio por ahí. Pero lo he probado de la siguiente manera:

En efecto, del teorema del valor medio se desprende que existe $c_1,c_2\in (a,b)$ tal que

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c_1)~ and ~~\frac{g(b)-g(a)}{b-a} = g'(c_2)$$

Entonces tengo $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+ \left(\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\right)^2= f'(c_1)+(g'(c_2))^2\le \max_{t\in [a,b]}\{f'(t)\}+\max_{t\in [a,b]}\{(g'(t)^2)\}$$

Que sin embargo no es la desigualdad requerida.

¿Alguien puede ayudar? ¿Cómo puedo mejorar esto?

Answer 1

\begin{align*} &\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}+\left(\dfrac{g(b)-g(a)}{b-a}\right)^{2}\\ &=\int_{a}^{b}f'(t)\dfrac{dt}{b-a}+\left(\int_{a}^{b}g'(t)\dfrac{dt}{b-a}\right)^{2}\\ &\leq\int_{a}^{b}f'(t)\dfrac{dt}{b-a}+\int_{a}^{b}(g'(t))^{2}\dfrac{dt}{b-a}\\ &\leq\max_{t\in[a,b]}\{f'(t)+(g'(t))^{2}\}\int_{a}^{b}\dfrac{dt}{b-a}\\ &=\max_{t\in[a,b]}\{f'(t)+(g'(t))^{2}\}. \end{align*}

Answer 2

Tratar $\max$ como $\sup$ Entonces, aplique el hecho de que $\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$ , para $A,B$ sea un subconjunto acotado no vacío de $\mathbb R$ y $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$