En las raíces del polinomio $(z-\frac12)^{2n}+(z+\frac12)^{2n}+1$

Question

Considere la posibilidad de un polinomio: $$P_n(z)=\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2n}+\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2n}+1$$ donde $n$ es un entero positivo.

Obviamente, el polinomio no tiene raíces reales. Las siguientes propiedades son válidas por la evidencia numérica:

Al menos uno de los enunciados: $$\left|z_i-\frac{1}{2}\right|=1,\;\left|z_i+\frac{1}{2}\right|=1, \text{ o } \Re(z_i)=0$$ es válido para cualquier raíz de $z_i$ del polinomio $P_n(z)$.

Además, todas las raíces del polinomio son distintos a excepción de $\pm\frac{i\sqrt{3}}{2}$, que han multiplicidad $n\;\text{mod}\;3$, y por lo tanto son dos-veces degenerados para $n=2\;\text{mod}\;3$.

Agradecería cualquier sugerencia en una prueba de estas propiedades.

Answer 1

Aquí está una explicación más detallada de mi idea. Primero presentamos cuatro conjuntos

$$\begin{align*} \mathsf{S}_T &= \left\{ -\frac{i\sqrt{3}}{2}, \frac{i\sqrt{3}}{2} \right\} \\ \mathsf{S}_L &= \{ z \in \mathbb{C} : \text{%#%#% and %#%#%} \} \\ \mathsf{S}_R &= \{ z \in \mathbb{C} : \text{%#%#% and %#%#%} \} \\ \mathsf{S}_I &= \{ z \in \mathbb{C} : \text{%#%#% and %#%#%} \} \end{align*}$$

Asimismo, definir $|z - \tfrac{1}{2}| = 1$ como el conjunto de ceros de $\operatorname{Re}(z) < 0$ acostado en $|z + \tfrac{1}{2}| = 1$, contados con su multiplicidad, para cada símbolo $\operatorname{Re}(z) > 0$. (Aquí, $\operatorname{Re}(z) = 0$ triple junction, $|z| > 1$ a la izquierda del arco, $\mathsf{Z}_{*}$ derecho arco, $P_n$ eje imaginario.)

Primero hacemos algunas observaciones sobre los conjuntos de $\mathsf{S}_{*}$$* \in \{ T, L, R, I \}$.

1. $T=$ son distintos para los diferentes símbolos $L=$. En particular, se sigue que

   $R=$$

2. Los siguientes son equivalentes:

   $a$ z \in \mathsf{S}_L \qquad \Leftrightarrow \qquad -z \in \mathsf{S}_R \qquad \Leftrightarrow \qquad \frac{1}{z+\frac{1}{2}}-\tfrac{1}{2} \in \mathsf{S}_I. $$

   La equivalencia de los dos primeros, es claro. Para la equivalencia de la primera y la tercera, aviso que $I=$ si y sólo si $\mathsf{S}_{*}$.

3. Tenemos

   $\mathsf{Z}_{*}$$

   En particular, junto con la parte anterior, nos encontramos con que $\mathsf{S}_{*}$.

4. Como el OP ya se ha observado, tenemos $* \in \{ T, L, R, I \}$. De esta manera se sigue investigando

   $$\begin{align*} P_n\left(\pm \frac{i\sqrt{3}}{2} \right) &= 1 + 2\cos\left(\frac{2n\pi}{3} \right) \\ P_n^{(1)}\left(\pm \frac{i\sqrt{3}}{2} \right) &= 4ni\sin\left(\frac{(2n-1)\pi}{3} \right) \\ P_n^{(2)}\left(\pm \frac{i\sqrt{3}}{2} \right) &= 4n(2n-1)\cos\left(\frac{(2n-2)\pi}{3} \right) \end{align*}$$

En particular, nos encontramos con que $$|\mathsf{Z}_L| + |\mathsf{Z}_R| + |\mathsf{Z}_I| + |\mathsf{Z}_T| \leq 2n. $. Para concluir, es suficiente para mostrar la siguiente afirmación:

La reclamación. Tenemos $z = \frac{1}{2} - e^{it}$.

De hecho, vamos a enchufe $\frac{1}{z+\frac{1}{2}}-\tfrac{1}{2} = \frac{i}{2}\cot\left(\frac{t}{2}\right)$ $$ \left( z+\tfrac{1}{2} \right)^{2n}P_n \left( \frac{1}{z+\frac{1}{2}}-\tfrac{1}{2} \right) = P_n(z) = P_n(-z). $a de la ecuación de$|\mathsf{Z}_L| = |\mathsf{Z}_R| = |\mathsf{Z}_I|$. Sobre la simplificación, obtenemos

$|\mathsf{Z}_T| = 2(n \text{ mod } 3)$$

Observe que el lado derecho de la $|\mathsf{Z}_L| \leq 2 \lfloor n/3 \rfloor$ $|\mathsf{Z}_L| \geq 2 \lfloor n/3 \rfloor$ siempre $z = \frac{1}{2} - e^{it}$. Por lo tanto para cada una de las $|t| < \frac{\pi}{3}$, existe al menos un $P_n(z) = 0$ tales que la ecuación de $$ \cos(nt) = \frac{(-1)^{n-1}}{2} (2\sin(t/2))^{2n}. \tag{*} $está satisfecho por el teorema del valor intermedio. Desde$\text{(*)}$también resuelve$<\frac{1}{2}$, se deduce que

$|t| < \frac{\pi}{3}$t = \pm t_k$1 \leq k \leq \lfloor n/3 \rfloor$1 \leq k \leq \lfloor n/3\rfloor$t = t_k \in \left( \frac{(k-1)\pi}{n}, \frac{k\pi}{n} \right)$$

y, por tanto, $\text{(*)}$ como se desee.