Propiedad de una función continua en la vecindad de un punto

Question

Deje $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función derivable. Deje $a \in \mathbb{R}$ y definen los siguientes conjuntos: \begin{align*} M= \{x>a \mid f(t)>f(a), \forall t \in (a,x] \}\\ N=\{x>a \mid f(t)=f(a), \forall t \in (a,x] \}\\ P=\{x>a \mid f(t)<f(a), \forall t \in (a,x] \} \end{align*} Demostrar que al menos uno de estos conjuntos no vacíos.

Traté de probar esta contradicción. Si todos estaban vacíos, entonces, para todos los $n \in \mathbb{N}_{\geq 1}$ habrá algunos números de $a_n,b_n,c_n \in (a,a+\frac{1}{n})$ tal que $f(a_n) \leq f(a), \: f(b_n) \neq f(a)$$f(c_n) \geq f(a)$. Pero estas secuencias que se forman parecer independiente, y no me podía conectar, de tal modo que puedo llegar a una contradicción.

El hecho de que al menos uno de estos conjuntos no vacíos es bastante obvio en un gráfico, pero no he podido probar rigurosamente. Creo que me estoy perdiendo algo obvio.

Edit: Gracias por su contraejemplos! Como se ha mencionado en uno de los comentarios, he añadido la diferenciabilidad de la función.

Answer 1

Esto no es cierto en general! Considere la posibilidad de

$$ \begin{aligned} f(x):= \begin{cases} x\sin(1/x)&\text{ if }x\not =0\\ 0 &\text{ if }x=0 \end{casos} \end{aligned}. $$

Esta función es continua en el punto de $0$, pero oscila indefinidamente a medida que se aproxima $0$. Por lo tanto, todos los tres de sus sets estará vacía.