Vista de Cálculo simple en el último teorema de Fermat

Question

Mi pregunta (más de una hipótesis realmente) es básicamente esto: Si una función $f(x)$ está definido de tal forma que $f'(x)$ no es constante y nunca es el mismo para cualquiera de los 2 valores de $x$. Entonces no existen números enteros positivos $a,b,c$ $a\le b\le c$ de manera tal que,

$$\int_0^{a} f(x)dx = \int_b^{c} f(x)dx\tag1$$

Tomando $f(x)=x^n$

• para $n \gt 1$, $(1)$ se convierte en el Ultimo Teorema de Fermat, mientras que
• para $n=1$, $(1)$ vuelve $a^2 + b^2 = c^2$

Tal vez esto tiene algo que ver con la "curvatura" (tengo 16 así que por favor perdóname por un lenguaje no técnico) de las gráficas de $x^n$, ya que para $n=1$ la gráfica es lineal y para $n>1$ el gráfico las curvas.

A mis maestros de escuela no hablar conmigo acerca de esto porque "está fuera de temario", así que pensé que tal vez esta comunidad podría ayudar.

Answer 1

Interesante. Pero no es verdad. Tomar $f(x)=\dfrac1{x+1}$. Entonces$$\int_0^1f(x)\,\mathrm dx=\int_1^3f(x)\,\mathrm dx,$$because$$\int_\alpha^\beta f(x)\,\mathrm dx=\log\left(\frac{\beta+1}{\alpha+1}\right).$ $

Answer 2

(Demasiado largo para un comentario, por lo tanto la adición como una respuesta)

La creación de conjeturas es una gran manera de desafiar su conocimiento y mejorar sus habilidades. Viendo que estás con sólo 16 años y ya estás creando conjeturas que involucran integrales que sus profesores están evitando abordar, pensé en darle mis 2 centavos de dólar (me recuerda a mí mismo).

En cuanto a tu pregunta específica, hay muchos contraejemplos, como otros, señaló. Voy a hablar de algunas ideas generales de la creación de conjeturas como una manera de mejorar sus habilidades.

Lo que me gustaría decir es que, básicamente, de que debe dar un montón de pensamiento en su elección de la hipótesis. Esto no es tonta molestia, esto es un grave asesoramiento - buenas conjeturas siempre tienen sentido y lógica hipótesis. Por el cuestionamiento de por qué se está usando ciertas hipótesis, a menudo resulta más clara si su conjetura tiene sentido o no.

Por ejemplo:

una función de $f(x)$ está definido de tal forma que $f'(x)$ no es constante y nunca es el mismo para cualquiera de los 2 valores de $x$

Sé que ustedes no dicen esto, pero supongamos por un momento que $f'$ es continua. Si este es el caso, es claro que a partir de su hipótesis, $f'$ debe ser estrictamente monótona. Así, la pregunta a sí mismo si usted tiene buenas razones para incluir en tu conjetura funciones diferenciables pero no $C^1$. Si sí, ¿por qué? (No veo ninguna razón). Si no, entonces usted debe optar por una menos enrevesado declaración (tales como "$f'$ es estrictamente monótona").

(Tenga en cuenta también que "no es constante" es redundante, de todos modos)

También, sé que es genial que tu conjetura se convierte en el Ultimo Teorema de Fermat en un determinado caso, sino que también debe cuestionarse a sí mismo lo fundamental diferencia hace que su integración límites son enteros. Desde su hipótesis son increíblemente amplia, no veo por qué no entero de límites tiene nada especial - de nuevo, esta es una sugerencia para que reconsideren su hipótesis. Por qué los números enteros son especiales aquí? Por qué no permitir que ninguna de reales? Preguntándose a sí mismo este tipo de pregunta, usted tiene los medios para evaluar el valor de su propia conjetura ti mismo.

(Observar, por ejemplo, que si su conjetura era cierta, sería trivial para probar una versión más amplia de los límites razonables, por la reducción/ampliación $f$ por una constante...)

Mantener el buen trabajo!