Si $X$ está Matando y $p$ es un punto crítico de $f(p) = \|X(p)\|^2$, entonces la trayectoria de $X$ a través de $p$ es geodésico.

Question

Deje $(M,g)$ un colector de Riemann y $X$ a un campo de muerte en $M$. La podemos definir la función:

$$f(p) = \|X(p)\|^2$$

El reclamo es:

Si $p$ es un punto crítico de $f$, entonces el flujo de $X$ $p$ es una geodésica.

Mis intentos:

$$Xf(p) = X(\|X(p)\|^2) = 2g(\nabla_XX(p),X(p)).$$

Pero entonces, una vez $p$ es un punto crítico, a continuación, $$g(\nabla_XX(p),X(p)) = 0.$$

Pero si no me equivoco la condición de $X$ Asesinato implica el mismo. A la derecha?

¿Cómo proceder?

Debo concluir que $\nabla_XX(p) = 0.$

Answer 1

$0=\frac{1}{2}Vf=g(\nabla_VX,X)= -g(\nabla_XX,V)$ cualquier $V$

Que es $\nabla_XX(p)=0$

Como usted señaló, $X|X|^2=0$ Esto implica que $|X|^2$ es constante a lo largo de un flujo Que es si $p$ es crítica, el flujo que pasa a través de $p$ es el conjunto de punto crítico