Buscando un anillo conmutativo el cumplimiento de determinadas condiciones

Question

Estoy buscando un anillo conmutativo $R$ (con la unidad) que es de carácter 2 y en la cual posee elementos $x$ $y$ de manera tal que el siguiente tiene

$x^2$ $y^2$ son inversos el uno del otro, sino $x$ $y$ no; $x, y, 1+x, 1+y$ son todas las unidades.

Un ejemplo de un anillo o un razonamiento de por qué uno no puede existir sería muy apreciado.

Answer 1

Tenemos $ (x^{-1})^2=(x^2)^{-1}=y^2$ y por lo tanto $$ (y-x^{-1})^2=0,$$ por lo $R$ tiene divisores de cero. Esto motiva el siguiente ejemplo:

Deje $R=\mathbb F_4[\epsilon] =\mathbb F_4[X]/(X^2)$ $x$ un generador del grupo cíclico $F_4^\times$. A continuación,$x^3=1$$x\ne 1$, lo $x^2+x+1=0$. Deje $y=x^2+\epsilon$. A continuación,$y^2=x$. Podemos comprobar

• $x\in R^\times$ porque $x^3=1$
• $y\in R^\times$ porque $y^2=x\in R^\times$
• $1+x\in R^\times$ porque $1+x\in\mathbb F_4$$x\ne1$; o explícitamente: $(1+x)^3=x+x^2=1$
• $1+y\in R^\times$ porque $(1+y)^2=1+x\in R^\times$
• $xy=1+x\epsilon\ne1$
• $x^2y^2=x^2x=1$

No era necesario, pero en este ejemplo, $x, y, 1+x,1+y$ son incluso cuatro diferentes unidades.