Funciones $f$ tal que $f(x+1)-f(x-1)=2f'(x)$ .

Question

¿Qué se puede decir de las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisface la condición $f(x+1)-f(x-1)=2f'(x)$ ? ¿Es posible encontrar todas esas funciones, o esta ecuación definitoria es la mejor caracterización que se puede obtener?

Sé que todos los polinomios de grado como máximo 2 satisfacen las condiciones. Esto se ve más fácilmente observando que las constantes, $f(x)=x$ y $f(x)=x^2$ satisfacen las condiciones y luego notar que si dos funciones $f$ y $g$ satisface la condición, entonces también lo hace cualquier combinación lineal de $f$ y $g$ .

También se puede ver que ningún polinomio de grado superior a 2 satisfará la condición observando que $f(x)=x^3$ no satisface la condición y luego notar que si $f$ satisface la condición, entonces también lo hace su derivada (Siempre que $f'$ es también diferenciable, lo que obviamente es el caso de los polinomios). Por tanto, la existencia de cualquier polinomio $f$ de grado superior a 2 que satisface la condición implicaría que existe tal cúbica diferenciando repetidamente $f$ y la existencia de dicha cúbica implica que $f(x)=x^3$ satisface la condición porque $f(x)=x^3$ es una combinación lineal de la cúbica obtenida y algún polinomio cuadrático.

Answer 1

Dejemos que $f(x)$ sea cualquier función diferenciable definida en $[0,1]$ y que $g(x)$ sea cualquier función integrable definida en $[1,2]$ . Ampliar $f$ para $x\in (1,2]$ definiendo $$f(x) = \int_1^x g(t)\,dt + c$$ donde $c$ se elige para hacer $f$ continua en $1$ . También se requiere que $g(1) = f'(1)$ para que $f$ será también diferenciable en $1$ . Ampliar $f$ a $x \in (2,3]$ por $$f(x) = f(x-2) + g(x-1).$$ Ahora $f$ se define en $[0,3]$ y satisface la fórmula dada en la pregunta.

Repite lo anterior empezando por $f$ hasta ahora definido en $[0,3]$ para ampliar la definición de $f$ a $[0,4]$ etc. para ampliar la definición a $[0, \infty)$ .

Se puede trabajar este procedimiento hacia atrás para ampliar la definición de $f$ a todos los $\mathbb{R}$ . Por lo tanto, cualquier $f$ que satisface la fórmula original puede crearse a partir de funciones de partida $f$ y $g$ como se describe.

Answer 2

Todas estas funciones se pueden obtener de la siguiente manera. Comience con cualquier función suave ( $C^\infty$ ) función $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$ tal que $$f^{(n)}(1)-f^{(n)}(-1)=2f^{(n+1)}(0)$$ para todos $n\geq 0$ . A continuación, podemos ampliar $f$ sin problemas a $[-1,2]$ definiendo $f(x)=f(x-2)+2f'(x-1)$ para $x\in[1,2]$ . Las ecuaciones anteriores garantizan que todas las derivadas superiores de $f$ en $1$ de la izquierda y la derecha estarán de acuerdo, así que $f$ es suave en $1$ . Pero ahora, $f$ satisface $f^{(n)}(x+1)-f^{(n)}(x-1)=2f^{(n+1)}(x)$ para todos $n$ y todos $x\in [0,1]$ . En particular, estas ecuaciones para $x=1$ nos permiten ampliar $f$ a $[2,3]$ de la misma manera. Podemos ampliar de forma similar a $[3,4]$ y $[4,5]$ y así sucesivamente, y también a $[-2,-1]$ , $[-3,-2]$ y así sucesivamente, y obtener una función suave $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ Satisfaciendo a $f(x+1)-f(x-1)=2f'(x)$ para todos $x$ .

A la inversa, dado cualquier $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f(x+1)-f(x-1)=2f'(x)$ para todos $x$ , tenga en cuenta que $f$ debe ser suave: es diferenciable por hipótesis, pero entonces su derivada puede escribirse en términos de $f$ por lo que su derivada es diferenciable, y así sucesivamente. Así que restringiendo $f$ a $[-1,1]$ obtenemos una función inicial como la anterior, y los valores de $f$ en todos los $\mathbb{R}$ puede recuperarse mediante el proceso anterior.

Permítanme, por último, señalar que, efectivamente, hay muchas funciones $f:[-1,1]\to\mathbb{R}$ que satisface las condiciones anteriores. De hecho, esas condiciones sólo implican las derivadas de $f$ en $-1$ , $0$ y $1$ . Así que primero podemos prescribir $f$ cerca de esos tres puntos, y luego rellenar los valores entre ellos como queramos, siempre que lo hagamos con suavidad. Además, dadas dos secuencias cualesquiera $(a_n)$ y $(b_n)$ de los números reales, si definimos $c_n=a_n+2b_{n+1}$ entonces es posible construir $f$ tal que $f^{(n)}(-1)=a_n$ , $f^{(n)}(0)=b_n$ y $f^{(n)}(1)=c_n$ (por El lema de Borel ).

Answer 3

Cuando la derivada de una función y la función son lineales entre sí, lo más probable es que sea de naturaleza exponencial. Toma, $f(x)=\lambda a^{\alpha x} +\mu x+c$ y resolviéndolo obtenemos,

$$ a^{\alpha}- a^{-\alpha}=\alpha \Rightarrow a=(\frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2+4}}{2}) $$

Elija $\alpha$ (o $a$ ) sutilmente.

Answer 4

dejar $a=x-1$ entonces tenemos

$$ \frac{f(a+2)-f(a)}{2} =f'(a+1)$$

lo que significa que la derivada en la mitad del intervalo es igual a la tasa de cambio promedio del intervalo, por lo que podemos ver que todas las funciones de la forma $f(x)=mx+b$ son soluciones.