producto tensorial de * -algebra como * -álgebra: bien definido de la involución

Question

Tengo una pregunta respecto a la prueba de la siguiente proposición:

La proposición: Vamos a $A$ $B$ $\mathbb{K}$- álgebras con la involución. Deje $A\otimes B$ ser el algebraicas producto tensor de $A$$B$. A continuación, $A\otimes B$ es un involutiva $\mathbb{K}$-álgebra con $$(a\otimes b)(c\otimes d)=ac\otimes bd,$$ $$(a\otimes b)^*=a^*\otimes b^*.$$ De prueba (sólo el pasaje donde estoy atascado): Estoy atascado con el bien definedness de $$\sum_i a_i\otimes b_i\mapsto \sum_i a_i^*\otimes b_i^*:$$ 1. Por qué uno tiene que comprobar bien definedness la siguiente: si $\sum_i a_i\otimes b_i=0 \Rightarrow \sum_i a_i^*\otimes b_i^*=0$ ?

2.cómo probar que/ Es mi solución para la 2. (ver más abajo), ¿correcto?

Mi idea para 2. es utilizar el hecho de si $\{x_1,..,x_n\}\subseteq A$ es linealmente independiente y $\{y_1,...,y_n\}\subseteq B$ es arbitrario y tales que $$\sum_{i=1}^nx_i\otimes y_i=0,$$ then $y_1=...y_n=0$. Ahora, vamos a $\{x_k\}_{k\in I}$ ser una base para $A$ $a_i=\sum_{k\in I}\lambda_{i,k}x_k$ (esta suma es finita). Además vamos a $\sum_i a_i\otimes b_i=0$, Luego tenemos a $$0=\sum_i a_i\otimes b_i=\sum_i \sum_{k\in I}\lambda_{i,k}x_k \otimes b_i=\sum_{k\in I} x_k\otimes (\sum_i \lambda_{i,k}b_i)$$ es decir, (con el hecho anterior) $\sum_i \lambda_{i,k}b_i=0$ todos los $k\in I$. De ello se desprende $$\sum_i a_i^*\otimes b_i^*=\sum_i \sum_{k\in I}\overline{\lambda_{i,k}}x_k^* \otimes b_i^*=\sum_{k\in I} x_k^*\otimes (\sum_i \overline{\lambda_{i,k}}b_i^*)=\sum_{k\in I} x_k^*\otimes (\sum_i \lambda_{i,k}b_i)^*=0.$$

Pero no tengo idea de por qué 1. demuestra bien definedness de la involución.

Answer 1

Si$$\sum_{i=1}^n a_i\otimes b_i=\sum_{j=1}^m c_j\otimes d_j,$$ then $$0=\sum a_i\otimes b_i-\sum c_j\otimes d_j=\sum_{k=1}^{m+n} r_k\otimes s_k,$ $ donde $$ r_k = \begin{cases}a_k,&\ \text{ if }k=1,\ldots,n\\ -c_{k-m},&\ \text{ if } k=n+1,\ldots,n+m\end {cases} $$ y $$ s_k = \begin{cases}b_k,&\ \text{ if }k=1,\ldots,n\\ -d_{k-m},&\ \text{ if } k=n+1,\ldots,n+m\end {cases} $$ Entonces, si$\sum a_i\otimes b_i=\sum_j c_j\otimes d_j$, luego$\sum_kr_k\otimes s_k=0$, y por$1.$ obtienes ese$\sum_kr_k^*\otimes s_k^*=0$, es decir,$\sum a_i^*\otimes b_i^*=\sum_j c_j^*\otimes d_j^*$.

Answer 2

Pregunta sobre la definedness de presunta mapas de (categóricamente genuino) tensor de productos son a menudo bastante complicado si/cuando uno intenta abordar en un muy elemental.

Que es, en realidad, el universal, la asignación de la propiedad de la caracterización del tensor de productos, a saber, que todos los bilineal mapas de $B:M\times N\to Z$ (exclusivamente), convertidos a los lineales de los mapas de $\beta:M\otimes N\to Z$ tal que $B(m,n)=\beta(m\otimes n)$ elimina la mayoría de la aparente dificultad "por arte de magia". Que es, sin ambigüedades, la especificación de un bilineal mapa, es decir, sólo en los elementos de $m\times n$, da una bien definida lineal mapa sobre el producto tensor... Que es, en efecto, si la especificación de los elementos $\beta(m\otimes n)$ (donde $m\otimes n$ es simplemente la imagen de $m\times n$ en el producto tensor) inducen un bilineal mapa en $M\times N$, entonces no hay ninguna ambigüedad.

El ejemplo de una involución es un mapa del tensor de producto a sí mismo, para ser claro acerca de la definedness nos preguntamos acerca de la presunta correspondiente mapa de $M\times N\to M\otimes N$.

Así, con una involución $\theta$, ya que el $(m_1+m_2)^\theta\otimes n^\theta=m_1^\theta\otimes n^\theta + m_2^\theta\otimes n^\theta$, y de forma simétrica, y por escalares, es bien definido.