Deje $A\overline{X}=0$ donde $A=(a_{i,j})\in M_{L, n}(\mathbb{C})$ es un hecho distinto de cero $L\times n$ de la matriz sobre los números complejos $\mathbb{C}$, e $\overline{X}=(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T $ $n$- vector columna.
Supongamos $L< n$, entonces sabemos que las ecuaciones anteriores tienen distinto de cero soluciones. Mi pregunta es:
¿Cuáles son los suficiente (y necesario) las condiciones en $A$, de manera que podamos encontrar una solución a $\overline{X}$ la satisfacción de:
$$(P)\ \ \ \ \ \ \ \ |x_1|>\sum_{i=2}^n|x_i|$$
Aquí están algunas observaciones y comentarios:
Podemos suponer $L>1$, ya que para $L=1$, $|a_{1,1}|<|a_{1,i}|$ para algunos $i>1$ es una condición suficiente.
Para $a_{i,1}\neq 0$, ya que el $x_1=-\sum_{j=2}^n\frac{a_{i,j}x_j}{a_{i,1}}$, sabemos que una condición necesaria para la propiedad $(P)$ a sostener es que el $\exists j>1$, s.t., $|a_{i,j}|>|a_{i,1}|$.
Mi principal motivación para hacer esta pregunta es que quiero considerar las ecuaciones en el grupo general álgebras $\mathbb{Z}G$ para algunos contables grupo discreto $G$; ver este problema: Encontrar un elemento especial en el grupo de álgebra
