Un subconjunto $Y$ a de un espacio topológico $X$ se desconecta si la topología de subespacio de $Y$ está desconectado. Voy a definir $Y$ a " desconectado en $X$' si existe abra $U,V$ ( $X$ ) tales que $$ U \cup V \supseteq Y \qquad \mathrm{and} \qquad U \cap V = \varnothing \qquad \mathrm{and} \qquad U \cap Y \neq \varnothing \neq V \cap Y $$ En general, una desconectado subconjunto $Y$ no es necesariamente desconectado en $X$. Como esta pregunta muestra, podemos ser capaces de diseñar una topología en $X$ que garantiza que cualquiera de los dos bloques abiertos en $X$ que respectivamente contienen los dos desconectado componentes de $Y$ en la topología de subespacio siempre se cruzan, en algún lugar fuera de $Y$. Repetir el ejemplo, considere la posibilidad de: $$ Y = \{1,2\} \qquad X = \{1,2,3\} \qquad T_X = \{\varnothing, \{3\} ,\{1,3\},\{2,3\}, X\} $$ A continuación, $T_Y$ es discreto y desconectado, pero no hay dos bloques abiertos en $X$ que satisfacer los requisitos de arriba.
Mi pregunta, entonces, es: ¿hay ciertas condiciones en las $X$ que asegurarse de que cualquier desconectado subconjunto de $X$ es " desconectado en $X$'? Por ejemplo, una desconectado subconjunto $Y$ 'conectado en $X$' si los dos desconectado componentes (tomado como subconjuntos de abrir establece en $X$) siempre se cruzan en algún lugar fuera del subconjunto, pero a mí me parece que esto hará que el espacio no Hausdorff. Sin embargo, yo no podía probar que era verdad, y mi intuición para la topología no es muy buena, así que quería preguntarle a) si se desconecta subconjuntos de espacios de Hausdorff son siempre " desconectado en $X$' y b) si no, si hubo alguna otra clase de espacio topológico para que esto era cierto.
Gracias.
