Iteración del plano complejo de z ^ z

Question

¿Cómo puedo identificar cuando la secuencia iterativa $z \to z^z$ no va a la cabeza de infinito para empezar, algunos de valor de $z$?

Por ejemplo, $z=1$ es fijo, ya $1^1 = 1$. Si $z$ es real y entre el 0 y el 1, la iteración se dirige a 1, donde permanece. Cuando se comienza $z$ es real y mayor que 1, entonces la iteración jefes de infinity.

Al $z$ comienza negativo, sin embargo, los números complejos rápidamente entran en juego. $-1+0i$, por ejemplo, rápidamente ceros en el $1+0i$; sin embargo, $-0.5+0i$ rápidamente supera la computación de los parámetros. La reformulación de los $z$ $x + yi$ y mostrando las iteraciones hasta el punto de exceder la capacidad de cálculo es la siguiente:

$$-0.5 \to -1.414213562i \to 691.6428072-369.0287525i \to NAN.$$

Directrices para el complejo de exponenciación aquí:http://mathworld.wolfram.com/ComplexExponentiation.html

Esto me recuerda a la iteración detrás del conjunto de Mandelbrot: $z\to z^2+c$. En el caso de que el conjunto de Mandelbrot, sin embargo, es fácil identificar cuando una $z$ que va a la cabeza de infinito (cuando el valor absoluto de a $z$ supera los 2). Cuando se grafica el conjunto de Mandelbrot en el plano complejo, el programa se limita a capturar al 2 es excedido, y excluye el punto que está siendo evaluado desde el set.

Realmente me gustaría ver un diagrama del conjunto de puntos de $x+iy$ sobre el plano complejo donde la iteración $x+yi \to (x+yi)^{x+yi}$ no de la cabeza para el infinito. Sospecho que todos esos puntos cero en el valor de $1+0i$ pero no estoy seguro de que hacer. Puede haber otras "equilibrio" de los valores, o puede ser que los valores de un ciclo repetido de las formas (como es el caso de puntos en el conjunto de Mandelbrot).

He hecho un complot para esto, sin embargo, en este caso yo era simplemente asumir que la iteración fue encabezada por el infinito siempre $x$ o $y$ superó el 10 - no estoy seguro de que este es el caso! Otro problema es que la trama a veces excluir puntos cuando se acercan a $0+0i$ (cálculo del problema - yo podría arreglar esto, pero el otro problema de excesivamente altos valores de los restos).

Aquí está la imagen del diagrama:

Obviamente, el conjunto es fractal en la naturaleza, lo que realmente me gustaría ver que se calcula correctamente.

La mayoría de los puntos excluidos en la trama son excluidos debido a que el rendimiento de una iteración donde $x$ o $y$ supera los 10. Estoy bastante seguro de que, sin embargo, que hay algunos números muy altos que no la cabeza del infinito - tener la unidad imaginaria en el exponente significa que un muy alto positivo de entrada puede convertirse en una muy alta entrada negativa en la siguiente iteración, de tal manera que el alto número real negativo del exponente crea un número real en la iteración siguiente que uno que es muy cercano a cero, por lo tanto la reducción a cero en $1 + 0i$ en las iteraciones siguientes.

Yo incluso la sospecha de que los números que superan mis equipos de cómputo de la capacidad (algo parecido a $10^{360}$ o algo así) que, finalmente, puede volver a $1+0i$ si mi equipo sólo podía calcular más iteraciones. Podría esta en el hecho de ser el caso para todos los valores de partida que contiene un valor distinto de cero componente imaginario? Este podría ser probado de una manera o de la otra?

Answer 1

En primer lugar, no creo que realmente tiene sentido considerar si la órbita escapa a $\infty$ o no porque $z^z$ es muy pequeña cuando se $z$ es un número negativo con gran valor absoluto. Tenga en cuenta que $z^z$ comparte esta propiedad con $e^z$ y yo esperaría que la estructura global de la recorre de estos a las funciones que tienen mucho en común.

En un nivel local, podríamos esperar que la iteración de $f(z)=z^z$ a que tienen mucho en común con su aproximación cuadrática cerca de su punto fijo, ya que: $$f(z) = 1+(z-1)+(z-1)^2+O\left((z-1)^3\right).$$ Por lo tanto, podríamos examinar $$g(z) = 1+(z-1)+(z-1)^2.$$ De hecho, estas dos funciones tienen puntos fijos en $z_0=1$ con el multiplicador (valor de la derivada) igual a uno. En el caso de $g(z)$, es bien sabido que el disco de radio $1/2$ centrada en el punto de $1/2$ se reduce a $1$ bajo iteración de $g$. Véase, por ejemplo, el ejemplo 6.5.3 de Alan Beardon la Iteración de Funciones Racionales, en el que se examina una función muy similar. Esto también se ilustra en las figuras siguientes:

Así, podemos examinar el comportamiento de la iteración de $f$ en este mismo disco. El resultado es:

Ahora, el punto de todo esto es la siguiente:

Una vez que una iteración de $f$ entra en el disco de radio $1/2$ centrada en la punto de $1/2$, podemos estar seguros de que más repite van a converger lentamente a $1$.

Por lo tanto, tenemos una estrategia para la generación de una imagen: Iterar hasta que introduzca el disco de desbordamiento, o llegar a un máximo de rescate. El resultado se ve así:

Tenga en cuenta que este tiene poco en común con las imágenes de algunos exponencial de los conjuntos de Julia, como este, como se podría esperar. La imagen también parece sugerir una respuesta a su pregunta sobre las órbitas de los puntos del eje real positivo - es decir, la imagen indica que la mayoría de los puntos tales que finalmente convergen a 1, pero no todos los puntos. Podemos demostrar esto mediante la búsqueda de los puntos de la real positiva del eje que se asignan a algún número real mayor que 1. Por ejemplo, $$z=2.469470714651633682 + 3.01399440678144i$$ mapas (aproximadamente) de 2, como se puede comprobar numéricamente.