Deje $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ser una función periódica con período de $1$. Suponemos que $f$ es Lipschitz continua, y, en particular, asumimos que existe una $L\in (0,1)$, que $$ |f(x)-f(y)| \le L|x-y|, \quad \text{para todos los $x,y\in\mathbb R$.} $$ Vamos también a $g(x)=x+f(x).$ Mostrar que el límite $$\lim_{n\to +\infty}\frac1{n^2}[x+g(x)+g(g(x))+\cdots +g^{\circ n}(x)]$$ existe y es independiente de $x$, donde, para cada $n\ge1$, $g^{\circ n}$ es $g$ compuesto con el mismo $n$, $g^{\circ 1}=g$ y, para cada $n\ge1$, $g^{\circ n+1}=g\circ g^{\circ n}$.
Mi intento: Desde $$f(x+1)=f(x),\forall x\in R$$ entonces $$g(g(x))=g(x+f(x))=x+f(x)+f(x+f(x))$$ $$g(g(g(x)))=g(x+f(x)+f(x+f(x)))=x+f(x)+f(x+f(x))+f(x+f(x)+f(x+f(x)))$$ $$\cdots\cdots $$ y he $$|g(x)-g(y)|=|x-y+f(x)-f(y)|\le |x-y|+|f(x)-f(y)|<(L+1)|x-y|$$ donde $L+1>1$.
Por lo $g$ también es Lipschitz continua, y eso es todo lo que puedo hacer.
Gracias por tu ayuda.
