UMVUE $g(\lambda)$ = $e^\lambda$ cuando $x_i \sim Pois(\lambda)$

Question

Dejemos que $x_1 ... x_n$ sea $Pois(\lambda)$ Encuentre UMVUE de $e^\lambda$

A partir de una pregunta anterior, he encontrado el UMVUE de $e^{-\lambda}$ para ser $(\frac{n-1}{n})^{t}$ donde $t = \sum_{i=0}^n(x_i)$ . $\sum_{i=0}^n(x_i)$ es nuestra estadística completa y suficiente para $\lambda$ y tiene la distribución $Pois(n\lambda)$ .

Así que consideré el estimador $(\frac{n-1}{n})^{-t}$ y tomé su valor esperado para ver lo cerca que estaba.

$$E((\frac{n-1}{n})^{-t}) = \sum_{i=0}^\infty\frac{(\frac{n-1}{n})^{-i}e^{-n\lambda}(n\lambda)^{i}}{i!}.$$

Lo que mi calculadora dice es $$e^{\frac{n\lambda}{n-1}}$$ Esto parece estar cerca.

Tengo tres preguntas sobre este resultado,

1) ¿Cómo ha llegado mi calculadora a esta respuesta?
2) ¿Puedo llegar al umvue modificando mi estimador? ¿Cómo?

3) ¿Hay algún otro estimador que deba considerar en su lugar? ETA: No es necesario, ¡las respuestas 1 y 2 eran suficientes!

Answer 1

Para 1, le interesa $E[a^t]$ donde $t$ es poisson con tasa $n\lambda$ . Explícitamente:

$$E[a^x]=\sum_{x=0}^\infty a^x\frac{1}{e^{n\lambda}}\frac{n\lambda^x}{x!}=\frac{1}{e^{\lambda}}\sum_{x=0}^\infty \frac{(na\lambda)^x}{x!}=e^{na\lambda-n\lambda}=e^{n\lambda(a-1)}.$$

Ahora, conecte $a=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{-1}$ . Deberías conseguir $e^{n\lambda/(n-1)}$ .

Answer 2

1) ¿Cómo ha llegado mi calculadora a esta respuesta?

Alex R. ya lo ha explicado.

2) ¿Puedo llegar al umvue modificando mi estimador? ¿Cómo?

Utilizando la respuesta de Alex R., está claro que no tienes un estimador insesgado. Sin embargo, si puedes encontrar $a$ tal que,

$$E[a^t] = e^{\lambda}, $$

entonces tendrás un estimador insesgado. Así que se resuelve para $a$ en la ecuación $e^{n\lambda (a-1)} = e^{\lambda}$ . Esto debería llevarte a un UMVUE.

3) ¿Hay algún otro estimador que deba considerar en su lugar?

No sé si puede haber un estimador diferente o no aquí.