Expresiones de la forma cerrada para integrales de Fourier

Question

Defina los siguientes dos integrales de Fourier $$ C(k) = \int_0^{\pi/2} \big( \sin x\big)^{2\alpha}\cos (2kx) dx,\quad S(k) = \int_0^{\pi/2} \big( \sin x\big)^{2\alpha}\sin (2kx) dx, $$ para algunas constantes $\alpha>0$ e integer $k$. El uso simbólico de software como el ARCE, podemos obtener \begin{align} C(1) &= -\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{2(1+\alpha)},\cr C(2) &= -\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1-\alpha}{2(1+\alpha)(2+\alpha)},\cr C(3) &= -\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\frac{(1-\alpha)(2-\alpha)}{2(1+\alpha)(2+\alpha)(3+\alpha)},\cr C(4) &= -\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\frac{(1-\alpha)(2-\alpha)(3-\alpha)}{2(1+\alpha)(2+\alpha)(3+\alpha)(4+\alpha)},\cr &\ \ \vdots \end{align} Es fácil adivinar que (parece correcto, aunque sin pruebas) $$ C(k) = -\frac{\alpha\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)\Gamma(k-\alpha)}{\Gamma(1-\alpha)\Gamma(k+1+\alpha)},\quad k=1,2,\cdots. $$

Pero el otro integrante $S(k)$ parece bastante diferente. Aquí está el primer par de: \begin{align} S(1) &= \frac{1}{1+\alpha},\cr S(2) &= -\frac{2\alpha}{(1+\alpha)(2+\alpha)},\cr S(3) &= \frac{3\alpha^3-\alpha+2}{(1+\alpha)(2+\alpha)(3+\alpha)},\cr S(4) &= -\frac{4{\alpha}^{3}-4{\alpha}^{2}+16\alpha}{(1+\alpha)(2+\alpha)(3+\alpha)(4+\alpha)},\cr S(5) &= \frac{5\,{\alpha}^{4}-10\,{\alpha}^{3}+67\,{\alpha}^{2}-14\,\alpha+24}{(1+\alpha)(2+\alpha)(3+\alpha)(4+\alpha)(5+\alpha)},\cr S(6) &= -\frac{6\,{\alpha}^{5}-20\,{\alpha}^{4}+202\,{\alpha}^{3}-124\,{\alpha}^{2}+ 368\,\alpha }{(1+\alpha)(2+\alpha)(3+\alpha)(4+\alpha)(5+\alpha)(6+\alpha)},\cr S(7) &= \frac{7\,{\alpha}^{6}-35\,{\alpha}^{5}+497\,{\alpha}^{4}-601\,{\alpha}^{3}+ 2736\,{\alpha}^{2}-444\,\alpha+720 }{(1+\alpha)(2+\alpha)(3+\alpha)(4+\alpha)(5+\alpha)(6+\alpha)(7+\alpha)},\cr S(8)&=-\frac{8\,{\alpha}^{7}-56\,{\alpha}^{6}+1064\,{\alpha}^{5}-2120\,{\alpha}^{4} +13712\,{\alpha}^{3}-6464\,{\alpha}^{2}+16896\,\alpha }{(1+\alpha)(2+\alpha)(3+\alpha)(4+\alpha)(5+\alpha)(6+\alpha)(7+\alpha)(8+\alpha)},\cr &\ \ \vdots \end{align} Debido a que el numerador de $S(k)$ no puede ser más factorizados (excepto el factor evidente $\alpha$ al $k$ es incluso), es poco probable que $S(k)$ tiene un solo cerca de la forma de expresión como $C(k)$ mediante el uso de funciones Gamma. Mi pregunta es si hay una con dos o más términos?

Answer 1

He aquí una expresión de suma de $S(k)$.

Tenemos $$ S(k) = \int_0^{\pi/2} \big( \sin x\big)^{2\alpha}\sin (2kx) dx $$ La integración por partes da $$ S(k) = \frac{(-1)^{(k+1)}}{2 k} + \frac{\alpha}{k} \int_0^{\pi/2} \big( \sin x\big)^{(2\alpha -1)}\cos (2kx)\cos (x) dx $$ Podemos utilizar la expansión (documentado por ejemplo, en los manuscritos de H. W. Gould) $$ \cos (2kx) = \sum_{i=0}^k (-1)^r \frac{k}{r + k} {r + k \elegir 2r } 4^r \big(\sin x \big)^{2r} $$ para obtener $$ S(k) = \frac{(-1)^{(k+1)}}{2 k} + \frac{\alpha}{k} \sum_{i=0}^k (-1)^r \frac{k}{r + k} {r + k \elegir 2r } 4^r \int_0^{\pi/2} \big( \sin x\big)^{(2(r +\alpha) -1)}\cos (x) dx $$ Ahora la integral puede evaluarse con facilidad para dar a $\big( \sin x\big)^{(2(r +\alpha))}/(2(r + \alpha))$ donde la integral definida se convierte en $1/(2(r + \alpha))$ . Por lo tanto $$ S(k) = \frac{(-1)^{(k+1)}}{2 k} + \sum_{i=0}^k (-1)^r \frac{\alpha}{r + k} {r + k \elegir 2r } \frac{4^r}{2(r + \alpha)} $$ o $$ S(k) = \frac{1 + (-1)^{(k+1)}}{2 k} + \sum_{i=1}^k (-1)^r \frac{\alpha}{r + k} {r + k \elegir 2r } \frac{4^r}{2(r + \alpha)} $$ cual es el deseado expession. Debido a la general (no: integer) $\alpha$ generalmente, esto no puede ser resumida. Escribiendo esto como una fracción, el denominador común es $\prod_{r=1}^{k} (r + \alpha)$ como en los ejemplos de la descripción de la tarea. $\quad \quad \qquad \Box$

Answer 2

Estas integrales se puede expresar en forma cerrada gracias a la función hipergeométrica $_2F_1$

En el caso de la integral de la $C(k)$ , existe una relación entre la función hipergeométrica de argumento $1$ y la función Gamma que permite una simplificación de la forma cerrada.

En el caso de la integral de la $S(k)$, lo que implica la función hipergeométrica de argumento $-1$ , hasta donde yo sé no hay ninguna relación similar. Abisal al menos, hay una relación con la función Beta Incompleta, pero en el complejo domaine ya que el argumento es $-1$ : Fórmula anterior.

Hecho con la inestimable ayuda de WolframAlpha :

$ _2F_1(-2a,k-a;-a+k+1;-1)=(-1)^k(-1)^a(k-a)\text{B}_{-1}(k-a,2a+1)$

$\text{B}_{-1}(k-a,2a+1) \equiv \text{B}(-1;k-a,2a+1)\quad$ es la función Beta Incompleta con el argumento de $-1$.

http://mathworld.wolfram.com/IncompleteBetaFunction.html