Teorema 5.1. Capítulo I en el libro de Hartshorne.

Question

Encuentro dificultad para entender la prueba de este teorema :

Teorema : Sea $Y\subseteq\mathbb A^n$ una variedad afín. Sea $P\in Y$ un punto. Entonces $Y$ es no singular en $P$ si y solo si el anillo local $\mathcal O_P$ es un anillo local regular.

Sea $P$ el punto $(a_1,\dots,a_n)$ en $\mathbb A^n,$ y sea $\frak {a}$$=(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)$ el ideal maximal correspondiente en $A = k[x_1,\dots,x_n].$ Definimos un $\theta : A\longrightarrow k^n$ por $$\theta(f)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right).$$ Así que $\theta$ induce un isomorfismo $\theta':\frak{a}/\frak{a}^2\longrightarrow$$k.$

Ahora sea $\frak b$ el ideal de $Y$ en $A,$ y sean $f_1,\dots,f_n,$ un conjunto de generadores de $\frak b.$ Entonces el rango de la matriz Jacobiana $\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{i,j}$ es simplemente la dimensión de $\theta(\frak b)$ como un subespacio de $k^n.$ Usando el isomorfismo $\theta'$ esto es lo mismo que la dimensión del subespacio $\frak a^2+b/a^2$ de $\frak a/a^2,$ si $\frak m$ es el ideal maximal de $\mathcal{O}_,$ tenemos $$\frak m/m^2\cong a/(b+a^2).$$

No entiendo cómo puedo usar $\theta'$ para obtener $\dim_k \theta(\frak b)$$=\dim_k(\frak a^2+b/a^2)$ y por qué $$\frak m/m^2\cong a/(b+a^2).$$

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Para el primer punto: tienes aplicaciones $k$-lineales $\theta\colon A \to k^n$ y $\theta'\colon {\frak a}/{\frak a^2} \to k^n$ y la segunda es un isomorfismo, por lo que para calcular la dimensión de $\theta(\mathfrak{b})$ podrías en su lugar calcular la dimensión de $\theta'^{-1}(\theta(\mathfrak{b}))$. Esto último es de hecho $(\mathfrak{b} + \mathfrak{a}^2)/\mathfrak{a}^2$ ya que ese ideal tiene la imagen correcta.

Para la última parte: en general, si $R$ es un anillo con un ideal maximal $M$, entonces $M/M^2 \simeq (MR_M)/(MR_M)^2$. Así es como pienso en esto: $(MR_M)/(MR_M)^2 \simeq (M/M^2)_M$ pero $M/M^2$ es un espacio vectorial sobre $R/M$, por lo que los elementos de $R - M$ ya actúan de manera invertible y no hay necesidad de localizar. En nuestra situación $R = A/\mathfrak{b}$, $M = \mathfrak{a}/\mathfrak{b}$ y $MR_M = \mathfrak{m$.

También se quiere usar el hecho de que, en la notación del este artículo de Wikipedia, $I^eJ^e = (IJ)^e$. En nuestro caso, usamos esto para mostrar que $M^2 = (\mathfrak{a}/\mathfrak{b})^2 = (\mathfrak{a}^2 + \mathfrak{b})/\mathfrak{b}$. Luego $M/M^2 \simeq \mathfrak{a}/(\mathfrak{a}^2 + \mathfrak{b})$ por uno de los teoremas de isomorfismo.