Cálculo de sumas infinitas de poder de la serie.

Question

Esta semana pasada he estado estudiando el poder de la serie, primero estudié cómo determinar los intervalos de convergencia y no tengo ningún problema en hacer eso (por lo general sólo tienen que solicitar la raíz o de la prueba de razón de convergencia). Sin embargo, ahora me piden calcular la suma de:

Sé que algunos de los resultados de una serie infinita, como la geométrica o telescópico de la serie, sin embargo esto no es suficiente para calcular cualquiera de los infinitos sumas. Es allí cualquier procedimiento general para el cálculo de este sumas? O cualquier diferenciación y la integración de los teoremas de potencia de la serie podría utilizar?

Answer 1

Las sugerencias.

(a) $\dfrac{1}{n(2n-1)}=\dfrac{a}{n}+\dfrac{b}{2n-1}$.

(b) Por $|z|< 1$, la derivada de $\sum_{n\geq 0} z^n=\frac{1}{1-z}$$\sum_{n\geq 1} nz^{n-1}=\frac{1}{(1-z)^2}$.

(c) $\dfrac{n^3}{n!}=\dfrac{an(n-1)(n-2)+bn(n-1)+c n}{n!}$.

(d) $\dfrac{1}{1+2+\dots +n}=\dfrac{2}{n(n+1)}=\dfrac{a}{n}+\dfrac{b}{n+1}$.

(e) $\dfrac{n^3+n+3}{n+1}=an^2+bn+c+\dfrac{d}{n+1}$.

Se puede tomar desde aquí? Ahora es necesario recordar algunos conceptos básicos de la alimentación de la serie. Por ejemplo, para (c), recordar que para cualquier real $x$, $\sum_{n\geq 0}x^n/n!=e^x$ y, por encima de la pista, llegamos $$\sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}x^n=ax^3\sum_{n\geq 3}\frac{x^{n-3}}{(n-3)!} +bx^2\sum_{n\geq 2}\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}+cx\sum_{n\geq 1}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=(ax^3+bx^2+cx)e^x. $$

Answer 2

\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{n(x+3)^n}{2^n} & = (x+3)\sum_{n=1}^\infty \frac{n(x+3)^{n-1}}{2^n} = (x+3)\sum_{n=1}^\infty \frac d {dx} \, \frac{(x+3)^n}{2^n} \\[10pt] & = (x+3) \frac d {dx} \sum_{n=1}^\infty \frac{(x+3)^n}{2^n} \qquad \text{See the comment on this step below.} \\[10pt] & = (x+3) \frac d {dx} \, \frac{\text{first term}}{1 - \text{common ratio}} = \text{etc.} \end{align} Es la suma de las derivadas igual a la derivada de la suma? En el primer semestre de cálculo que ver es que se demostró que lo que es verdadero cuando hay sólo un número finito de términos. No totalmente generalmente trabajo con inifinitely muchos términos, pero sí con la alimentación de la serie en el interior del intervalo de convergencia.

\begin{align} n^3 x^n & = x^3 \cdot\Big( n(n-1)(n-2)x^{n-3}\Big) + 3x^2 \cdot \Big( n(n-1) x^{n-2} \Big) + 3x \cdot\Big( nx^{n-1}\Big) \\[10pt] & = x^3 \frac {d^3} {dx^3} x^n + 3x^2 \frac{d^2}{dx^2} x^n + 3x \frac d {dx} x^n \\[12pt] \text{So } \sum_{n=0}^\infty \frac{n^3 x^n}{n!} & = x^3 \frac{d^3}{dx^3} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} + 3x^2 \frac{d^2}{dx^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} + 3x \frac d {dx} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n} {n!} \end{align} Y es de suponer que usted sabe cómo la suma de la serie en la última línea de arriba.