suma de polynoms de propiedad

Question

He a $P(x)$ un polinomio con grado de $n$ ,$P(x) \ge 0$ para todos los $x \in$ real.

Tengo que demostrar que:

$f(x)=P(x)+P'(x)+P"(x)+......+P^{n}(x) \ge 0$ todos los $x$.

He probado diferentes métodos para solucionar el problema, pero me quedé atrapado.Cualquier sugerencia o consejo es bienvenido.

Answer 1

usted puede dejar que $$G(x)=f(x)e^{-x},-\infty<x<\infty$$ entonces tenemos $$G'(x)=f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=-P(x)e^{-x}\le 0$$ así que esta $G(x)$ es la disminución de la y $$\lim_{x\to+\infty}G(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)e^{-x}=0$$ $$f(x)e^{-x}=G(x)\ge \lim_{x\to+\infty}G(x)=0$$ por lo $$f(x)\ge 0$$

Answer 2

Debido a $f$ es un polinomio distinto de cero, se tiene sólo un número finito de ceros $x_1< x_2 < \dots < x_r$. Por otra parte, $f(x) \underset{x \to \pm \infty}{\sim} P(x)$$P(x) \geq 0$$(- \infty,x_1]$$[x_r,+ \infty)$. Observe también que el signo de $f$ es constante en $[x_i,x_{i+1}]$.

Deje $1 \leq i \leq r-1$. Debido a $f(x_i)=f(x_{i+1})=0$ existe $y_i \in (x_i,x_{i+1})$ tal que $f'(y_i)=0$ por medio del teorema del valor. Pero $f(y_i)=P(y_i)+f'(y_i) \geq 0$. Por lo tanto, $f$ es no negativo en $[x_i,x_{i+1}]$.

Por último, se deduce que $f$ es no negativo.