¿Alguien puede decirme cómo calcular la integral de Riemann de la función característica del conjunto de Cantor? Es probablemente obvio, pero no veo la manera de escribirlo. Muchas gracias por tu ayuda!
Respuestas
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Deje $C$ ser el conjunto de Cantor, y deje $C_n$ ser cerrada a la izquierda después de $n$ pasos para quitarse de en medio tercios de $[0,1]$, lo $C_n$ es un discontinuo de la unión de $2^n$ cerrado intervalos, y la suma de las longitudes de estos intervalos es $\left(\frac{2}{3}\right)^n$, que converge a cero. La función característica $\chi_{C_n}$ $C_n$ es una función de paso que domina la función característica de a $C$, por lo que su integral, $\left(\frac{2}{3}\right)^n$, es de una alta suma de Riemann para $\chi_C$. Así, el infimum de la parte superior de las sumas de Riemann para $\chi_C$ es en la mayoría de las $\inf_n\left(\frac{2}{3}\right)^n=0$. El menor sumas de Riemann son todos mayores o iguales a $0$, por lo que esto muestra que la integral de Riemann existe y es igual a $0$.
Alex Bolotov
Puntos
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Estoy asumiendo que usted está hablando sobre el Conjunto de Cantor en $[0,1]$, donde se quita el tercio medio.
Dado que el conjunto de Cantor es de medida cero, la integral de Lebesgue de su función característica es $0$.
Si se tratara de Riemann integrable (que es, como los puntos de discontinuidad es de medida $0$), entonces el valor de la integral de Riemann sería igual a la integral de Lebesgue y así sería $0$.
