La expresión siguiente:

Question

Deje $n$ $k$ ser enteros positivos. Deje $a>0$. Evaluar: $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\left(a+\frac{1}{n}\right)^n\left(a+\frac{2}{n}\right)^n\cdot\ldots\cdot\left(a+\frac{k}{n}\right)^n}{a^{nk}}$$

Traté de aplicar el concepto de Límite de una suma", tomando registro, pero yo no podía hacer.

Alguien, por favor ayuda!

Answer 1

Dividimos arriba y abajo por la $a^{nk}$ para obtener $$ \frac{\left(a+\frac{1}{n}\right)^n\left(a+\frac{2}{n}\right)^n\cdot\ldots\cdot\left(a+\frac{k}{n}\right)^n}{a^{nk}} = \left(1+\frac{1}{an}\right)^n\left(1+\frac{2}{an}\right)^n\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{k}{an}\right)^n. $$ Esto puede ser arreglado a $$ \left(1+\frac{1/a}{n}\right)^n\left(1+\frac{2/a}{n}\right)^n\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{k/a}{n}\right)^n. $$ Ahora, es bien conocido que $$ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^n = e^{z}, $$ así que tomando límites que tenemos $$ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1/a}{n}\right)^n\left(1+\frac{2/a}{n}\right)^n\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{k/a}{n}\right)^ n = e^{1/}\cdot e^{2/un}\cdot\ldots\cdot e^{k/a} = e^{\frac{k(k+1)}{2a}}. $$

La última igualdad se utiliza el hecho de que $$ 1 + 2 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}. $$

Answer 2

Sugerencia: Divida la parte superior e inferior por $a^{nk}$. Dividir la parte superior, dividir cada término por $a^n$. El típico plazo se convierte en $\left(1+\frac{i}{an}\right)^n$.

Por último, el uso de un límite conocido.

Answer 3

Convertir su función de a $\left(1+\frac{1}{an}\right)^{n}\left(1+\frac{2}{an}\right)^{n}...\left(1+\frac{k}{an}\right)^{n}$. En el límite, cada uno de los factores que toma la forma $e^{()}$, por lo que el producto se convierte en una suma. Se puede tomar desde allí?

Answer 4

$\lim_{n \to \infty} \frac{(a+\frac{1}{n})^n \cdot \dots \cdot ((a+\frac{k}{n})^n}{a^{nk}}=\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{an})^n \cdot \dots \cdot (1+\frac{k}{an})^n = \\ \lim_{n \to \infty}((1+\frac{1}{an})^{an})^{\frac{1}{a}} \cdot \dots \cdot ((1+\frac{k}{an})^{an})^{\frac{k}{a}} = e^{\frac{1}{a}} \cdot \dots \cdot e^{\frac{k}{a}} = e^{\frac{(k+1)k}{2a}}$

Answer 5

Sugerencia: $$ e^{\frac{1}{a}}\cdot e^\frac{2}{a}\cdot\ldots\cdot e^{\frac{k}{a}}=\exp\left(\frac{k(k+1)}{2a}\right).$$