La teoría de representación de$\mathrm{GL}(n,\mathbb{K})$ donde$\mathbb{K}$ es un campo (no necesariamente algebraicamente cerrado) de la característica cero

Question

Me gustaría saber acerca de las representaciones irreducibles de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{K})$ donde $\mathbb{K}$ es un campo de característica cero, y temas tales como representaciones irreducibles de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{K})$, los Jóvenes de cuadros, Schur functors, Schur-Weyl dualidad etc.

Por desgracia, básicamente, cada teoría de la representación de libros de texto he mirado sólo analiza las representaciones sobre $\mathbb{C}$, y no dan ninguna indicación de si alguno de los resultados de generalizar a otros campos, y si lo hacen, cómo extraer la información procedente de la compleja teoría de la rep.

Hay un lugar donde yo podía aprender acerca de la teoría de la representación de la lineal general de grupo sobre otros campos de característica cero, que no necesariamente son algebraicamente cerrado? Incluso acaba de $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ sería suficiente ya que es el caso más me interesa.

Answer 1

El apéndice a del capítulo uno de Macdonald libro Simétrica funciones y Sala de polinomios trata el polinomio representaciones de $\mathrm{GL}(V)$ en esta generalidad. Por definición, una representación polinomial si su matriz de coeficientes son funciones polinómicas (no funciones racionales, de modo que, por ejemplo, el inverso del determinante no es un polinomio de la representación) de las entradas de la matriz $g \in \mathrm{GL}_n(F) \cong \mathrm{GL}(V)$ (que es independiente de la elección de la base implícita en este isomorfismo).

Brevemente, al igual que para el grupo simétrico uno puede tomar el campo base a alguna característica $0$ campo, no hay ninguna diferencia significativa entre el polinomio de representaciones de $\mathrm{GL}_n(\mathbf{Q})$ $\mathrm{GL}_n(F)$ para cualquier campo $F$ de los característicos $0$. Todos los irreducibles de objetos para el último surgir a través de cambio de base de irreductible objetos para el primero.

Es decir, para cada partición $\lambda$ con $n$ partes de la Schur functor $F_\lambda$ que se aplica a $\mathbf{Q}^n$ da el polinomio irreducible de representación $F_\lambda(\mathbf{Q}^n)$, en el que $g \in \mathrm{GL}_n(\mathbf{Q})$ hechos por $F_\lambda(g)$ (aquí usamos ese $F_\lambda$ es un functor), y hasta el isomorfismo de estas cuentas para todo el polinomio irreducible de las representaciones.

Por otro lado, si usted está interesado en otro tipo de representaciones (por ejemplo, unitario de representaciones de $\mathrm{GL}_n$ considera como una Mentira grupo), existen diferencias significativas entre las teorías por ejemplo, para$\mathbf{R}$$\mathbf{C}$. Si ese es el caso, sugiero comenzar con los libros de Knapp y Vogan.