¿Alguien puede decirme en un nivel alto (yo no soy consciente de teoría de la medida mucho) acerca de Lebesgue de integración y en qué medida es necesaria en el caso de Lebesgue de integración? Cómo medir se utiliza para calcular la franja horizontal asignada para un rango particular?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Davem M
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Esto es más acerca de la integración de Lebesgue en general, y no el de la franja horizontal de negocios.
Me imagino algo como esto: la integral de Riemann es sólo capaz de aproximar funciones mediante rectángulos. Rectángulos, básicamente, sólo el uso de un único conjunto que "sabemos" que la longitud de: el intervalo de tiempo. Es fácil calcular la longitud de un intervalo, y así si $\chi_{[a,b]}$ es la función que se 1 en el intervalo de $[a,b]$ y 0 fuera de ella, podemos fácilmente calcular la integral de la $$\int c \chi_{[a,b]} = c(b-a).$$ Para calcular las integrales de otras funciones, nos aproximarse a ellas por funciones como estas. Esto le da a la integral de Riemann.
Pero la integral de Riemann tiene un par de problemas. No se comportan bien con los límites y hay un montón de funciones que "debería" ser integrable, pero no lo son. Así que lo que hacemos es reemplazar aburrido intervalos de $[a,b]$ como "básicos de la integración de conjunto" con un mucho mayor de la clase: conjuntos medibles. Creo que de estos conjuntos como ser un muy, muy grande colección de conjuntos que podemos encontrar la longitud de. Una medida es una asignación de un número a cada uno de estos conjuntos de una manera que es compatible con nuestra noción de área. Vamos a llamar a $\mu(A)$ la medida de un conjunto, dada por la medida de $\mu$. Este es básicamente el área de $A$, o tal vez la longitud de $A$.
Ahora pensamos en nuestra función de $\chi_A$ nuevo, que toma el valor de $1$$A$$0$$A$. Si nuestros integral hace algo parecido a lo que se debe, entonces es mejor que nos ha $$\int \chi_A d\mu = \mu(A).$ $ ¿Cómo se calculan las integrales sobre otras funciones? Lo que hacemos básicamente es aproximarse a ellas por finito de sumas de funciones como las de arriba y que nos dice lo que el área debe ser.
Hay, por supuesto, un montón de detalles que no se mencionan aquí, pero en resumen: la integral de Lebesgue permite más flexibilidad en la aproximación por que nos permite aproximar por una mucho más rica colección de conjuntos.
