Valores integrales de una expresión

Question

Sea $b=\sqrt{a^2+5a+8}-\sqrt{a^2-3a+4}$

Halla el número de valores integrales de b.

Mi $long$ utilizando el Cálculo :

Hallar el dominio de la función : $R$

Obsérvese que la función es continua

Demuestra que la función es siempre creciente

Encontrar el límite como $x -> \infty$ y $x->-\infty$

Consíguelo como $-4$ y $4$

Concluir que los únicos valores integrales posibles son ${-3,-2,-1,0,1,2,3}$ .

Pero no estoy contento ya que es demasiado largo para una pregunta de 3 marcadores (en mi examen)

¿Quiero una forma agradable quizás usando la teoría de expresiones cuadráticas?

EDITAR Bueno, ustedes dieron una prueba corta utilizando el cálculo, pero yo quería ver una prueba sin utilizar el cálculo, ya que no estaba en el programa de la prueba. Y definitivamente no he estudiado acerca de las asíntotas en detalle (sólo en la hipérbola brevemente)

Ambas respuestas son excelentes.

Answer 1

La asíntota puede verse completando el cuadrado:

$$a^2+5a+8=\left(a+\frac 52\right)^2+\frac 74$$

$$a^2-3a+4=\left(a-\frac 32\right)^2+\frac 74$$

Por lo tanto, para grandes $a$ la expresión se aproxima a $\left(a+\frac 52\right)-\left(a-\frac 32\right)=4$ y para grandes $a$ está cerca de $-\left(a+\frac 52\right)+\left(a-\frac 32\right)=-4$

Entonces habrás terminado si puedes demostrar que la función es continua y creciente.

Answer 2

Sólo hay que tener en cuenta los discriminantes $5^2-4\cdot8=-7$ y $(-3)^2-4\cdot4=-7$ son negativas, por lo que las cuadráticas son siempre positivas, por lo tanto la función es continua y se puede escribir así: $$\sqrt{a^2+5a+8}-\sqrt{a^2-3a+4}=\frac{8a+4}{\sqrt{a^2+5a+8}+\sqrt{a^2-3a+4}}$$ Ahora ves que los límites son $\frac{-8}{1+1}=-4$ para $a\to-\infty$ y $\frac8{1+1}=4$ para $a\to+\infty$ por lo que los valores integrales son $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ y tienes que excluir $-4$ y $4$ :

$$\begin{align}\sqrt{a^2+5a+8}+\sqrt{a^2-3a+4}&=\sqrt{\left(a+\frac52\right)^2+\frac74}+\sqrt{\left(a-\frac32\right)^2+\frac74}\\&>{\left|a+\frac52\right|+\left|a-\frac32\right|}\geq|2a+1|.\end{align}$$ Es decir $\left|\frac{8a+4}{\sqrt{a^2+5a+8}+\sqrt{a^2-3a+4}}\right|<4$ y no necesitas demostrar que la función es creciente.

De otra manera:

Sustituir $2a=b-1$ : $${\sqrt{a^2+5a+8}-\sqrt{a^2-3a+4}=\frac12\left(\sqrt{(2a)^2+10\cdot2a+32}-\sqrt{(2a)^2-6\cdot2a+16}\right)}\\\begin{align}&=\frac12\left(\sqrt{(b-1)^2+10(b-1)+32}-\sqrt{(b-1)^2-6(b-1)+16}\right)\\&=\frac12\left({\sqrt{b^2+8b+23}-\sqrt{b^2-8b+23}}\right)\end{align}$$ Similarly like in the first solution $$\begin{align}\left|\frac12\left({\sqrt{b^2+8b+23}-\sqrt{b^2-8b+23}}\right)\right|&=\frac12\frac{|16b|}{\sqrt{(b+4)^2+7}+\sqrt{(b-4)^2+7}}\\&<\frac{|8b|}{|b+4|+|b-4|}\leq\frac{|8b|}{|2b|}=4\end{align}$$ Esto también demuestra que las raíces cuadradas están bien definidas.

Por tanto, sin pérdida de generalidad $b\geq0$ y para $n\in\mathbb N$ suponiendo que $0\leq n\leq3$ queremos resolver $$\frac12\left({\sqrt{b^2+8b+23}-\sqrt{b^2-8b+23}}\right)=n\\\begin{align}&\Longleftrightarrow 2(b^2+23)-2\sqrt{(b^2+23+8b)(b^2+23-8b)}=4n^2\\&\Longleftrightarrow b^2+23-2n^2=\sqrt{(b^2+23)^2-64b^2}\\&\Longleftrightarrow(b^2+23-2n^2)^2=(b^2+23)^2-64b^2\\&\Longleftrightarrow-4n^2(b^2+23)+4n^4=-64b^2\\&\Longleftrightarrow(16-n^2)b^2=23n^2-n^4\\&\Longleftrightarrow b^2=\frac{n^2(23-n^2)}{16-n^2}\end{align}$$ La 3ª equivalencia se cumple porque $b^2+23-2n^2\geq b^2+5>0$ y la última se mantiene porque $n^2<16$ Así que $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ son todos valores integrales.