Deducir que existe un primer $p$ donde $p$ divide $x^2 +2$ $p≡3$ (mod 4)

Question

Estoy revisando para un número examen de teoría y tengo una pregunta que estoy luchando con, cualquier ayuda sería muy apreciada.

En primer lugar, me pidió que muestran que para un número impar $x$, $x^2+2 ≡3$(mod 4).

Puedo hacer esta parte de la pregunta, pero la próxima me preguntan a deducir que no existe un prime $p$ donde $p$ divide $x^2 +2$ $p≡3$ (mod 4)

Estoy luchando para ver cómo intento de la segunda parte y cómo la primera parte se relaciona.

Mis pensamientos son hasta ahora que yo quiero mostrar $x^2≡-2$(mod p) ? Y tal vez Ese Pequeño Teorema podía ser de uso aquí de alguna manera?

No estoy seguro si estoy ladrando al árbol equivocado, sin embargo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Nuestro número de $x^2+2$ es impar y mayor que $1$, por lo que es un producto de impares no necesariamente distintos de los números primos. Si todos estos números primos fueron congruentes a $1$ modulo $4$, su producto sería congruente a $1$ modulo $4$. Pero usted ha demostrado que $x^2+2\equiv 3\pmod{4}$.

Answer 2

Considerar la descomposición en factores primos de a $x^2+2$. Desde $x$ es impar, $x^2+2$ es extraño lo que implica $2$ no se muestran en la factorización. Ahora considere los números primos que se muestran en la descomposición en factores primos. Si son todos de la $1$ en el modulo 4, entonces su producto será también uno en el modulo $4$. Esto no es cierto, aunque, ya sabes que $x^2+2$ $3$ modulo $4$. Por lo tanto, debe ser una de las primeras que en la descomposición en factores primos de a $x^2+2$ s.t. no es $1$ modulo 4. Puesto que los números primos distintos de 2 que no $1$ modulo 4 $3$ modulo $4$, con esto se completa el razonamiento.

Answer 3

La pregunta, como le pidió, ha sido contestada. Sin embargo, voy a mostrar cómo cuadrática de los residuos puede ayudar en problemas como estos, y demostrar que además $x^2+2$ ($x$ impar) tiene un factor primo congruente a $3 \!\!\!\mod 8$:

Supongamos que $x$ es impar. Si $p$ divide $x^2+2$, $p$ es impar y $x^2 \equiv -2 \!\!\mod p$. En particular, $-2$ es un cuadrado mod $p$, por lo tanto $$1=\left(\frac{-2}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/2} (-1)^{(p-1)/2}=(-1)^{(p^2+p-2)/2}.$$ Esto implica $p \equiv 1,3 \!\!\mod \!8$. Si cada uno de los prime $p$ dividiendo $x^2+2$ fueron congruentes a$1 \!\!\mod 8$, $x^2+2$ sería congruente a $1\!\! \mod 8$. Esta es una contradicción, por lo tanto existe cierta $p \mid x^2+2$ congruente a $3 \!\!\mod 8$. (De hecho, debe haber un número impar de tales números primos.)

Por supuesto, cualquiera de los números primos es congruente a $3 \!\!\mod 4$, lo que le da su resultado.

Podemos ignorar residuos cuadráticos en su problema particular, porque sólo hay dos impares residuos de mod $4$. En las preguntas más difíciles, buscando en residuos cuadráticos puede dar más información.