¿Es correcta esta parte de mi prueba por inducción?
$\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}$
esto es cierto cuando lo cierto es que :
$\sum_{i=1}^{n}\left |x_{i}y_{i}\right |\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}$
La desigualdad anterior es cierta para $n=1$ y suponemos que es cierto para $n$ .
Para $n+1$ obtenemos : $\sum_{i=1}^{n}\left |x_{i}y_{i}\right |+\left |x_{n+1}y_{n+1}\right |\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}+x_{n+1}^{2}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}+y_{n+1}^{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+x_{n+1}^{2}y_{n+1}^{2}}$
utilizando el supuesto de inducción obtenemos :
$\sum_{i=1}^{n}\left |x_{i}y_{i}\right |+\left |x_{n+1}y_{n+1}\right |\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}+\left |x_{n+1}y_{n+1}\right |\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}+x_{n+1}^{2}\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}+y_{n+1}^{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+x_{n+1}^{2}y_{n+1}^{2}}$
¿Es esto correcto? Alguien me ha dicho que he utilizado la inducción de forma incorrecta.
Agrego el enlace proporcionado por https://math.stackexchange.com/users/18986/david-mitra http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v12e/Cauchy-Schwarzinequality.pdf
