¿Cuál es el número de números entre el $1$ $1,000,000$ cuyos dígitos de la suma es $30$?
Así que pensé en esto como una de las estrellas y palos problema, por lo que en el caso de que hayas $35\choose 5$ números cuya suma es $30$. Pero, obviamente, esta serie de números que incluye a muchos solapamientos (si, por ejemplo, de la suma solicitada fue$8$, $80=800=8000=134=143=431$ etc.). ¿Cómo deshacerse de la solapa (inclusión-exclusión)?
Gracias de antemano por cualquier ayuda!
Uno busca el número de $N$ entero de soluciones de $$ \sum_{i=1}^6n_i=30,\qquad 0\leqslant n_i\leqslant9. $$ Por lo tanto, $N$ es el coeficiente de $x^{30}$ en el polinomio $$ \prod_{i=1}^6\sum_{n_i=0}^9x^{n_i}=\left(\frac{1-x^{10}}{1-x}\right)^6. $$ Para calcular los $N$, ten en cuenta que $$ (1-x^{10})^6=\color{red}{1}-\color{red}{6}x^{10}+\color{red}{15}x^{20}-\color{red}{20}x^{30}+o(30), $$ y que $$ \frac{1}{(1-x)^6}=\sum_{k=0}^{30}\color{verde}{{5+k\choose5}}x^k+o(30), $$ donde $o(30)$ denota términos de orden, al menos,$31$, por lo tanto $$ N=\color{red}{1}\cdot\color{green}{{5+30\choose5}}-\color{red}{6}\cdot\color{green}{{5+20\choose5}}+\color{red}{15}\cdot\color{green}{{5+10\choose5}}-\color{red}{20}\cdot\color{green}{{5+0\choose5}}=50877. $$
El problema no se superpone: es la restricción de los valores para el rango de $0$ a través de $9$. Estás buscando el número de soluciones en los enteros no negativos a la ecuación
$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=30\tag{1}$$
con el requisito adicional de que $x_k\le 9$$k=1,\dots,6$: cada una de esas soluciones define uno de los números que usted está tratando de contar, y viceversa. El número de soluciones sin el límite superior de la restricción es, como usted dice,
$$\binom{30+6-1}{6-1}=\binom{35}5\;.$$
Sin embargo, algunas de estas soluciones requieren de un 'dígitos" es mayor que $9$. Empieza por contar las soluciones en enteros no negativos a $(1)$ que $x_1\ge 10$. Aquellos que están claramente en una correspondencia uno a uno con las soluciones en los enteros no negativos a
$$y_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=20\;,$$
donde $y_1=x_1-10$, y usted sabe cómo calcular su número. Llamar a ese número $n_1$. Hay muchas soluciones a $(1)$ que violan el límite superior en $x_2$, al igual que muchos de nuevo que violan el límite superior en $x_3$, y así sucesivamente, por lo que la mejor aproximación a la solución del problema original es
$$\binom{35}5-6n_1\;.$$
Por supuesto, esto overcorrects, ya que es posible que una solución a $(1)$ a violar dos de la cota superior de las restricciones a la vez. Tendrás que calcular el número de $n_2$ de las soluciones que han $x_1\ge 10$ e $x_2\ge 10$ y, a continuación, volver a agregar los múltiples apropiado de $n_2$. Y puesto que es posible violar tres de las limitaciones que a la vez, usted tendrá que hacer una mayor inclusión-exclusión de corrección.
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