La comprensión de una presentación de un grupo como un cociente

Question

Apenas estoy comenzando a aprender un poco de teoría de grupos, así que por favor perdonen si la ignorancia me demuestran en el siguiente.

Estoy tratando de entender el concepto de un grupo se define en función de su presentación $G = \langle S \mid R \rangle$ como el cociente del grupo de la libre grupo de $F_S$ generado por $S$, y el normal subgrupo $R^{F_S}$ generado por $R$$F_S$.

Entiendo la idea básica de que la normal subgrupo $R^{F_S}$, es la recopilación de todos los elementos de la $F_S$ que se define como equivalente a $1_G$ (la identidad en el grupo $G$). También entiendo que la división de $F_S$ $R^{F_S}$ (es "dividir" el término correcto?) particiones $F_S$ y que cada una de estas particiones esencialmente a terminar como un elemento diferente de $G$, y además, como $R^{F_S}$ es normal , el subgrupo de las particiones pueden ser convertidos en un grupo de heredando el grupo de operación de $F_S$.

Pero estoy teniendo problemas para envolver mi cabeza alrededor de exactamente cómo el conjunto de relatores $R$ particiones $F_S$. No mecánicamente, que parte entiendo que, en términos de encontrar las cosets $gR^{F_S}$, pero de una forma más intuitiva sentido, ¿cómo hacemos para determinar cómo estos relatores definir la estructura del grupo de $G$?

Tomando el diedro grupo $D_4$, por ejemplo, que la presentan como $\langle r, v | r^4 = v^2 = rfrf = 1 \rangle$, ¿cómo podemos entender de esto que $fR^{F_S}$, e $r^3R^{F_S}$, e $rfrR^{F_S}$, todos los productos de su "propia" cosets, en lugar de ser igual a $R^{F_S}$, o igual el uno al otro?

Mis entrañas siento es que tiene algo que ver con ser "menos" que los relatores, o en algún sentido "comprime" a los relatores, pero creo que no tengo el vocabulario para describir correctamente, y que puede, de hecho, estar completamente fuera de base.

Answer 1

Aquí está una explicación de shotrevlex Knuth-Bendix de reescritura para su grupo. Es largo, pero si usted puede entender cómo puedo hacer que $R_4$, el resto es sólo más de lo mismo.

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Me voy a cambiar a su grupo sólo un poco, $e=rf$$r=ef$, por lo que ahora el grupo es generado por $T=\{e,f\}$ $$\langle e,f \mid (ef)^4=f^2=e^2=1\rangle$$

Para cada elemento de la $F_T/R^{F_T}$ quiero encontrar el más corto camino de la escritura hacia abajo, y entre más corto maneras, voy a elegir el que ocupa el último lugar en orden alfabético. Si yo uso una relación para reemplazar un largo camino con un camino más corto (para el mismo elemento), voy a llamar a que la simplificación.

Para mantener las cosas con calma, voy a empezar por el sólo uso de las relaciones de la manera más obvia: \begin{array}{ll} R_1: & ee & \mapsto 1 \\ R_2: & ff & \mapsto 1 \\ R_3: & efefefef & \mapsto 1 \\ \end{array}

Ahora quiero asegurarme de que no me falte a ninguna de las simplificaciones. Observe que $eefefefef$ puede ser visto como tanto $(ee)fefefef \stackrel{R_1}{\mapsto} fefefef$ y $e(efefefef) \stackrel{R_3}{\mapsto} e$. Claramente $e$ es más simple, pero $fefefef$ no coincide con ninguno de mis reglas. Voy a seguir adelante y añadir la regla que dice $fefefef$ $e$ son los mismos, pero $e$ es más simple:

\begin{array}{ll} R_1: & ee & \mapsto 1 \\ R_2: & ff & \mapsto 1 \\ R_3: & efefefef & \mapsto 1 \\ R_4: & fefefef & \mapsto e \\ \end{array}

Aviso de la tercera regla ahora es redundante: la mano izquierda lados probablemente debería ser tan simple como sea posible, teniendo en cuenta las otras reglas, pero el lado izquierdo de $R_3$ simplifica a $e(fefefef) \stackrel{R_4}{\mapsto} ee$ y de manera simplificada $R_3$ es lo mismo que $R_1$.

Miro de nuevo por el doble regla de las oportunidades: $ffefefef$ ambos $(ff)efefef \stackrel{R_2}{\mapsto} efefef$$f(fefefef) \stackrel{R_4}{\mapsto} fe$, pero de nuevo ninguna de las reglas de hacerlo directamente, así que añadir una regla que dice $efefef$ $fe$ son el mismo, pero $fe$ es más simple:

\begin{array}{ll} R_1: & ee & \mapsto 1 \\ R_2: & ff & \mapsto 1 \\ R_4: & fefefef & \mapsto e \\ R_5: & efefef & \mapsto fe \\ \end{array}

Esta vez $R_4$ es redundante, el lado izquierdo es $f(efefef) \stackrel{R_5}{\mapsto} f(fe) = (ff)e \stackrel{R_2}{\mapsto} e$, por lo que podemos saltar demasiado.

De nuevo $eefefef$ ambos $(ee)fefef \stackrel{R_1}{\mapsto} fefef$ $e(efefef) \stackrel{R_5}{\mapsto} e(fe)$ así que añadir la regla 6, y el aviso de la regla 5 es redundante:

\begin{array}{ll} R_1: & ee & \mapsto 1 \\ R_2: & ff & \mapsto 1 \\ R_6: & fefef & \mapsto efe \\ \end{array}

Esto continúa una vez más hasta que llegamos:

\begin{array}{ll} R_1: & ee & \mapsto 1 \\ R_2: & ff & \mapsto 1 \\ R_7: & efef & \mapsto fefe \\ \end{array}

Ahora, en este punto tenemos dos doble regla de oportunidades de $eefef$$efeff$. Ambos trabajan sobre el mismo, así que voy a mostrar la primera: $(ee)fef \stackrel{R_1}{\mapsto} fef$ es lo mismo que $e(efef) \stackrel{R_7}{\mapsto} e(fefe) = (efef)e \stackrel{R_7}{\mapsto} (fefe)e = fef(ee) \stackrel{R_1}{\mapsto} fef$. Bien, eso está claro, $fef=fef$. El otro doble regla de oportunidad es similar.

Es un teorema que, debido a esta falta de emocionante doble regla de oportunidades, NO existen interesantes oportunidades para el uso de reglas en formas diferentes. Si se aplican las reglas mecánicamente hasta que no puede ser más aplicado, y el resultado es una respuesta siempre es la misma, sin importar el orden que usted elija para usar las reglas, o si coinciden en varios lugares, que en lugar de decidir el uso de la regla primera.

Esto también nos dice que todos los elementos: se comienza con la identidad, y multiplicar por $e$ $f$ hasta podemos aplicar una regla. Eso nos daría una respuesta más breve, pues no necesitamos considerar.

Haciendo esto conseguimos $\hat G = \{1,e,f,ef,fe,efe,fef,fefe\} \subset F_T$ y eso es todo. Conseguimos que los si $u,v \in \hat G$ $u \neq v$ $uR^{F_T} \neq vR^{F_T}$ (debido a que no se aplica la regla) y $F_T/R^{F_T} = \{ u R^{F_t} : u \in \hat G \}$ (debido a $\hat G$ está "cerrado" en virtud de la multiplicación, después de la aplicación de reglas, y contiene los generadores $e$$f$).

Answer 2

Jack Schmidt respuesta es acerca de cómo calcular eficazmente con presentaciones de grupo, así que permítanme tratar y dar una imagen más intuitiva o conceptual respuesta.

El primer punto a tener en cuenta es que, aunque la definición es "correcto", no es particularmente útil - algunas definiciones son así. Las personas que trabajan mucho con las presentaciones de grupo no suelen pensar en términos de normal cierres de conjuntos de definición de relatores. Cuando la enseñanza de los cursos de introducción en la teoría de grupo, me presento presentaciones muy temprano, porque son tan útil para dar preciso, pero descripciones compactas de pequeños ejemplos, pero tengo que hacer esto, incluso antes de que los estudiantes se han encontrado con un cociente de grupos (por no hablar de libre grupos), así que no es cuestión de dar la definición formal.

Yo defino el grupo $\langle X \mid R \rangle$ donde $X$ es un conjunto de generadores, y $R$ es dado generalmente como un conjunto de ecuaciones entre palabras en los generadores (como $\langle x,y \mid x^2=y^3=(xy)^2=1 \rangle$) como el "más grande" del grupo que se genera por $X$ en el que las ecuaciones en $R$ mantener. Por supuesto he de decir que yo no he dicho que lo "más grande" significa infinito grupos, y no he tratado de justificar el implícita afirmación de que siempre hay un único más grande del grupo, pero puedo dar algunos ejemplos (como el de arriba, que define el diedro grupo de orden 6), en la que puede ser fácilmente demostrado que no hay un único más grande del grupo.

Aunque la definición anterior no es formal, creo que expresa de manera intuitiva lo que estamos tratando de definir. A partir de la definición formal de $G = \langle X \mid R \rangle$, como cociente $F(X)/\langle R \rangle^{F(X)}$ de un grupo libre por el cierre de la definición de relatores, usted puede ir a probar algunas propiedades básicas tales como

El grupo $G$ es generado por las imágenes en el cociente del grupo de los generadores $X$ de la libre grupo. Es habitual el abuso de notación y denotan estos generadores también por $X$, aunque hay que ser conscientes de que los dos elementos de la original $X$ podría tener la misma imagen en $G$. No es un resultado fundamental que expresan la característica universal de $G$: si $H$ es cualquier grupo, y $\phi:X \to H$ es cualquier mapa con la propiedad de que las imágenes de los elementos de $R$ bajo $\phi$ (es necesario decir exactamente lo que eso significa) son todos iguales a la identidad en $H$, $\phi$ se extiende únicamente a un grupo de homomorphism $G \to H$. Esto no es difícil de demostrar a partir de la definición de $G$. Usted debe aprender los básicos de Tietze transformaciones para la manipulación de presentaciones de grupo. De nuevo, la prueba de que estos trabajos se puede demostrar fácilmente de la definición.

He encontrado que una vez que esté familiarizado con las tres propiedades, rara vez hay ninguna necesidad de volver a la definición de $G$ como cociente de un grupo libre.