Deje $g$ ser una función definida en el intervalo $[0,2]$ $x \le g(x) \le x^2-x+1$

Question

Deje $g$ ser una función definida en el intervalo $[0,2]$$x \le g(x) \le x^2-x+1$$0 \le x \le 2$. Entonces

$(A)$ $g$ debe ser un polinomio.

$(B)$ $g$ debe ser continua en $x = 1$.

$(C)$ $g$ debe ser continua en$x = 0$$x = 2$.

$(D)$ $g$ debe ser una función continua.

Desde $\lim_{x\to 1} x = 1$$\lim_{x\to 1} x^2 - x + 1 = 1$. Así, por el sándwich de la regla de las funciones de $g$ es continua en a $x = 1$. Por lo $B$ es la opción correcta.

Desde $\lim_{x\to 0} x = 0$$\lim_{x\to 0} x^2 - x + 1 = 1$. Así que no soy capaz de concluir nada acerca de la continuidad en $x = 0$.

Que me dibuje la gráfica de $x$ $x^2 - x + 1$ y la conclusión de que podemos definir una función de satisfacer la condición dada es posible, pero yo no definir esta función. Así que me ayude Plz de revisar otras opciones.

Answer 1

Usted ya lo han probado (B) es correcta. Para los otros, considere la función $$g(x)=\begin{cases} 1 & \text{if } x=0\\ x &\text{if } x\in (0,2) \\ 3 & \text{if } x= 2\end{casos}$$

Answer 2

Ninguno de los cuatro propiedades de los cambios si se pasan a $h(x) := g(x)-x$. Luego de que su condición es $$0 \leq h(x) \leq (x-1)^2 \text{ for } x \in [0,2].$$

Por lo tanto, obviamente, (B) sostiene que mientras que todas las otras cosas que no tienen sentido.