$(X,d)$ es un espacio métrico con la propiedad de que cada cerrado y acotado conjunto es compacto.Ahora, ¿cómo puedo mostrar $X$ es completa? Puede alguien ayudarme a dar consejos al respecto?
Respuesta
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Sugerencia: comienza con una secuencia de Cauchy. Mostrar que usted puede poner esto en un conjunto compacto; ahora uso el hecho de que la métrica y compacto implica la compacidad secuencial. Esto nos dice que la secuencia de Cauchy tiene un convergentes larga. Ahora usted puede mostrar que la misma secuencia converge a este punto límite, mostrando que la secuencia original que comenzó con converge.
Desde la secuencia de Cauchy fue arbitraria, todas las secuencias de Cauchy deben converger, por lo que se hace.
